Gleiche Eigenvektoren unterschiedlicher Matrizen

Neue Frage »

28.02.2017, 15:44	Clear89	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleiche Eigenvektoren unterschiedlicher Matrizen Meine Frage: Hallo Matheboard leser, Ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabe die wir gestellt bekommen haben Die Aufgabe lautet: Sei K ein Körper und A, B (n x n) Matrizen. Der Vektor v sei sowohl Eigenvektor zu der Matrix A mit Eigenwert y, so wie Eigenvektor zu der Matrix B mit Eigenwert z. Zeigen sie: Für die Matrix C= AB-BA gilt det(C)=0 Meine Ideen: Ich habe mir überlegt, dass die Matrizen kommutieren, da sie den gleichen Eigenvektor haben. Ich habe aber nirgends im Skript oder im Internet ähnliche Aufgaben gefunden und bin damit überfordert. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen LG Clear89
28.02.2017, 15:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleiche Eigenvektoren unterschiedlicher Matrizen Falls es einen Vektor $\begin{eqnarray} w \neq 0 \end{eqnarray}$ gibt, mit $\begin{eqnarray} Cw = 0 \end{eqnarray}$ , dann ist der Kern nicht-trivial (enthält schließlich w), und ist damit nicht invertierbar. Nicht invertierbare Matrizen haben verschwidenende Determinante. Im Allgemeinen reicht es auch nicht aus einen gemeinsamen Eigenvektor zu haben, damit Matrizen kommutieren.
28.02.2017, 15:58	Clear 89	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleiche Eigenvektoren unterschiedlicher Matrizen Also könnte man hier argumentieren, dass w der genannte Eigenvektor ist und somit Cw = 0 gilt, da C aus den B und A Matrizen besteht?
28.02.2017, 15:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleiche Eigenvektoren unterschiedlicher Matrizen Kann man. Aber die letzte Begründung ist sehr schwammig. Das kann -- und muss man -- präzisieren.
28.02.2017, 16:04	Clear 89	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleiche Eigenvektoren unterschiedlicher Matrizen Alles klar das werde ich probieren. Vielen Dank erstmal
28.02.2017, 16:17	Clear 89	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleiche Eigenvektoren unterschiedlicher Matrizen Ich habe das jetzt weiter versucht, komme aber auf keine Lösung. hängt das damit zusammen, dass AB und BA die gleichen Eigenvektoren besitzen? Ich bin wirklich überfragt
Anzeige

28.02.2017, 16:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleiche Eigenvektoren unterschiedlicher Matrizen Rechne doch mal aus was $\begin{eqnarray} Cv \end{eqnarray}$ ist, stur nach Definition von $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ , dann benutze danach, dass $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor ist. Im Notfall schreib auf wie weit du kommst.
28.02.2017, 16:31	Clear 89	Auf diesen Beitrag antworten »
Cv = (AB - BA)v = ABv- BAv = yzv - zyv = 0 , wobei y Eigenwert von A und z Eigenwert von B. stimmt dies so?
28.02.2017, 16:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Es bleibt nur die Frage warum $\begin{eqnarray} yzv = zyv \end{eqnarray}$ ist, was du im letzten Schritt benutzt.
28.02.2017, 16:38	Clear 89	Auf diesen Beitrag antworten »
Nunja v ist der Vektor der eh hinten steht. da y und z bestimmte Zahlen sind, gilt das kommutativgesetz hierfür oder?
28.02.2017, 16:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Das steckt in der Information "Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper". Aber bei so elementaren Ergebnissen gehören so Bemerkungen eben dazu. Insbesondere funktioniert der Beweis nicht, wenn $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ kein Körper, sondern nur noch ein Ring wäre, nicht. Vermutlich ist dann auch die Aussage falsch.
28.02.2017, 17:25	Clear 89	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar vielen Dank für die Hilfe

Neue Frage »

Antworten »

Gleiche Eigenvektoren unterschiedlicher Matrizen

Verwandte Themen