Zentralen Grenzwertsatz beweisen

28.02.2017, 19:26

dela86

Zentralen Grenzwertsatz beweisen

Meine Frage:
Ich muss für eine Klausur schrittweise den Beweis für den zentralen Grenzwertsatz erklären können. Nicht komplett den Beweis selbst durchführen.
Mein Problem ist, dass ich diese Teilschritte gar nicht nachvollziehen kann bzw. nur die mathematischen Teilschritte, aber nicht warum und an welcher Stelle was gemacht wird.
Ich wäre dankbar, wenn mir jemand mit relativ einfachen Worten zusammenfassen könnte was dort gemacht wird.

Meine Ideen:
An der Stelle wo $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zwei mal abgeleitet wird bin ich leider schon vollkommen raus. Der Schritt davor ist ja auch erstmal nur die Grundidee, dass man über die charakteristische Funktion geht, was ich auch nur so hinnehme.

Ich würde mir alles etwas übersetzen und auswendig lernen, was mir aber nicht sinnvol erscheint.

01.03.2017, 09:20

SHigh

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RE: Zentralen Grenzwertsatz beweisen
Die Idee ist, über die charakteristische Funktion zu gehen. Es gilt zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\varphi_{Y_n}(u) \overset != e^{-\frac {u^2}2}=\varphi_{\mathcal N (0,1)} \end{eqnarray*}$ .

Dann folgt mit dem Stetigkeitssatz von Lévy die Behauptung.

Dazu brauchtst du:

1) Rechenregeln für die charakteristischen Funktion

$\begin{eqnarray*} \varphi _{aX}(u)=\varphi_X(au), \quad a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_{X_1 + X_2}(u)=\varphi_{X_1}(u)\varphi_{X_2}(u) \quad \text{für ZVen } X_1,X_2. \end{eqnarray*}$

2) Eingenschaften der charakteristischen Funktion

Die charakteristische Funktion ist zweimal stetig differenzierbar und mit

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X_j-\mu)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb E\left((X_j-\mu)^2\right)=\sigma^2 \end{eqnarray*}$ folgt für $\begin{eqnarray*} \varphi(u) := \varphi_{X_1-\mu} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \varphi'(0)=i\mathbb E(X_j-\mu) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi''(0)=i^2\mathbb E\left((X_j-\mu)^2\right)=-\sigma^2 \end{eqnarray*}$

3) Taylorentwicklung

Die Taylorentwicklung um 0 liefert

$\begin{eqnarray*} \varphi(u) \overset{2)}=1-\frac {\sigma^2u^2}2+u^2R(u) \end{eqnarray*}$

und damit folgt

$\begin{eqnarray*} \varphi_{Y_n}(u)\overset{1)}=\exp \left[n \varphi \left(\frac u{\sigma\sqrt n}\right)\right]\overset{3)}{\underset{n\to \infty} {\longrightarrow}} e^{-\frac {u^2}2}. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich muss für eine Klausur schrittweise den Beweis für den zentralen Grenzwertsatz erklären können.

Ist das wirklich eine Klausur und keine mündliche Prüfung?

01.03.2017, 13:23

dela86

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Ja das war eine Klausuraufgabe.

Danke, Freude

das hat mir sehr geholfen. Ich konnte jetzt alles nachvollziehen bis auf den letzten Schritt. Warum folgt nach der Taylerentwicklung diese Gleichung?
$\begin{eqnarray*} \varphi_{Yn} (u)=e^{n \log \varphi (\frac{u}{\sigma \sqrt{n} } )} \end{eqnarray*}$

01.03.2017, 13:37

SHigh

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \varphi_{Y_n}(u)\overset{1)}=\exp \left[n \varphi \left(\frac u{\sigma\sqrt n}\right)\right]\overset{3)}{\underset{n\to \infty} {\longrightarrow}} e^{-\frac {u^2}2}. \end{eqnarray*}$

Da ist doch eine "1)" über dem Gleichheitszeichen. Das folgt, wenn du die Rechenregeln der char. Fkt. anwendest und

$\begin{eqnarray*} (\varphi (x))^n=e^{n\log (\varphi (x))} \end{eqnarray*}$

benutzt.

01.03.2017, 17:14

dela86

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Habs jetzt verstanden. Freude

Vielen Dank!

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