Erwartungswert aus Verteilungsfunktion

01.03.2017, 15:15	Sopranino	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert aus Verteilungsfunktion Huhu ihr Lieben, nochmal ne Frage zu Stochastik. Und zwar habe ich folgende Aufgabe: Gegeben sei die Funktion: $\begin{eqnarray} f_X(x) =\begin{cases} ax^2, & \text{für }0 \leq x \leq 2\\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ Für ein geeignetes $\begin{eqnarray} a \geq 0 \end{eqnarray}$ sei dies die Dichte einer Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ a) Man bestimme $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} f_X(x) \end{eqnarray}$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist. b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F_X(x) \end{eqnarray}$ . c) Zeigen Sie $\begin{eqnarray} \mathbb{E} [X] = \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Var(X) = \frac{3}{20} \end{eqnarray}$ . d) Verwenden Sie die Ungleichung von Chebyshev um eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(\|X-\frac{3}{2} \| \geq 0.5) \end{eqnarray}$ zu finden. So, a) b) und d) sind absolut kein Thema. a) $\begin{eqnarray} a= \frac{3}{8} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} F_X(x) = \int_{0}^{x} \! f_X(t) \, dt = \begin{cases} 0, & \text{falls }x<0 \\ \frac{1}{8}x^3, & \text{falls } x \in [0,2] \\ 1, & \text{falls }x>2 \end{cases} \end{eqnarray}$ Aber bei c) komme ich nicht weiter. Hier das, was ich ausprobiert habe: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}[X]=\int_{-\infty }^{\infty } \! t \cdot f_X(t) \, dt = \int_{0}^{2} \! t \cdot \frac{1}{8}t^3 \, dt = \frac{1}{8} \int_{0}^{2} \! t^4 \, dt \\ = \frac{1}{8} \left[\frac{1}{5} t^5\right]_0^2 = \frac{4}{5} \end{eqnarray}$ Irgendwo habe ich nen Denkfehler drin... Freue mich über Hilfe!
01.03.2017, 15:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert aus Verteilungsfunktion Du hast statt $\begin{eqnarray} f_X = \frac 3 8 x^2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,2] \end{eqnarray}$ den Wert von $\begin{eqnarray} F_X \end{eqnarray}$ auf dem Intervall genommen.
01.03.2017, 15:29	Sopranino	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das war dumm... -.- Danke!

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