Umformung nachvollziehen

01.03.2017, 18:07

al3ko

Umformung nachvollziehen

Meine Frage:
Hi Leute,
in folgender Veröffentlichung [1] versuche ich eine Umformung nachzuvollziehen, komme allerdings nicht auf dasselbe Ergebnis.
Ausgangsterm ist $\begin{eqnarray*} \sin(\pi d)v_{out,0} \end{eqnarray*}$ . Anschließend gibt es die Annahme, dass $\begin{eqnarray*} \Delta d = d - D \end{eqnarray*}$ ist sowie $\begin{eqnarray*} \Delta v_{out,0} = v_{out,0}-V_{out,0} \end{eqnarray*}$ .
Als Ergebnis kommen die auf:
$\begin{eqnarray*} \sin(\pi d)*v_{out,0} = \sin(\pi D)\Delta v_{out,0}+V_{out,0}\sin(\pi D)+V_{out,0}\cos(\pi D)(\pi \Delta d) \end{eqnarray*}$
[1]H. Qin and J. W. Kimball, "Generalized Average Modeling of Dual Active Bridge DC?DC Converter," in IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 27, no. 4, pp. 2078-2084, April 2012.

Ein Auszug aus der Veröffentlichung ist im angehängten Bild zu finden.

Vielen Dank

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist die Anwendung von den trigonometrischen Additionstheoremen.
Ausgangslage:
$\begin{eqnarray*} v_{out,0}*\sin(\Delta d *\pi+D*\pi) = (\Delta v_{out,0}+V_{out,0})*\sin(\Delta d *\pi+D*\pi) \end{eqnarray*}$
Anwendung der trig. Additionstheoreme führt zu folgendem Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \Delta v_{out,0}\sin(\pi \Delta d)\cos(\pi D)+V_{out,0}\sin(\pi \Delta d)\cos(\pi D)+\Delta v_{vout,0}\sin(\pi D)\cos(\pi \Delta d)+V_{out,0}\sin(\pi D)\cos(\pi \Delta d) \end{eqnarray*}$
Und hier komme ich nun nicht weiter. Fehlt mir das geschulte Auge, um eine mögliche Vereinfachung zu sehen oder stimmt ihr mit meinem Ergebnis überein? Hat vielleicht jemand eine Idee, wie man zu der Lösung in [1] kommen kann?

01.03.2017, 19:12

Scotty1701D

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kann Rechnung nicht ganz nachvollziehen
Die Darstellung in der Veröffentlichung ist etwas verwirrend, weil die Näherung überflüssigerweise in zwei Teilschritten durchgeführt wurde.
Für kleine Änderungen kann man folgenderweise nähern:
$\begin{eqnarray*} \sin(\pi \Delta d)\approx\pi \Delta d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos(\pi \Delta d)\approx 1 \end{eqnarray*}$
Im ersten Term entsteht mit $\begin{eqnarray*} \Delta v_{out,0}\cdot\pi \Delta d \end{eqnarray*}$
ein Term zweiter Ordnung, den man vernachlässigt.

02.03.2017, 09:26

al3ko

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kann Rechnung nicht ganz nachvollziehen
Hi Scotty,
ich danke dir für deine Antwort. Mit deinen Erläuterungen komme ich nun ebenfalls auf das gewünschte Ergebnis. Eine Frage hätte ich noch, da das noch nicht ganz ersichtlich für mich ist.

Zitat:

Original von Scotty1701D
Für kleine Änderungen kann man folgenderweise nähern:
$\begin{eqnarray*} \sin(\pi \Delta d)\approx\pi \Delta d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos(\pi \Delta d)\approx 1 \end{eqnarray*}$

Wie kommt man zu dieser Aussage? Wenn ich mir den Sinus und Cosinus aufzeichne, kann ich diese Aussage nicht ganz wiedererkennen.

Vielen Dank,

02.03.2017, 09:42

Scotty1701D

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kann Rechnung nicht ganz nachvollziehen
1. Erklärung: Der Kosinus hat bei 0 ein Maximum, also ändern sich die Funktionswerte nur wenig von 1:
$\begin{eqnarray*} \cos x\approx 1 \end{eqnarray*}$
Der Sinus hat hier die Steigung 1:
$\begin{eqnarray*} \sin x\approx x \end{eqnarray*}$

2. Erklärung: Taylor-Reihe:
$\begin{eqnarray*} \cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\dots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sin x = x-\frac{x^3}{6}+\dots \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Umformung nachvollziehen

Verwandte Themen