Wahrscheinlichkeit eines Auftretens berechnen

02.03.2017, 13:09

HDsports

Wahrscheinlichkeit eines Auftretens berechnen

Hallo,
Ich hoffe da gibt es einige Pokemon Go Spieler Augenzwinkern

Ich möchte zu folgendem die Wahrscheinlichkeit berechnen:
Es gibt 5 verschiedene Items.
3 dieser Items benötige ich 2 x
2 dieser Items benötige ich 1 x
Also ingesamt benötige ich 8 Items...

Die Wahrscheinlichkeit ein Item zu erhalten liegt bei 0,14 % (also 1:714)

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das ich alle diese 8 besitze. die 1:714 mit 8 zu multiplizieren geht natürlich nicht, da es unterschiedliche Items gibt und die Chance sehr gering ist nach 8 Items auch exakt die richtigen zu besitzen.

LG

02.03.2017, 13:36

SHigh

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RE: Wahrscheinlichkeit eines Auftretens berechnen
Was genau meinst du mit

Zitat:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das ich alle diese 8 besitze.

?

Ist deine Frage, wie hoch die WS ist, die "richtigen" 8 zu haben, wenn man 8 Items bekommen hat? Oder nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Versuchen?

Bedeutet

Zitat:

Die Wahrscheinlichkeit ein Item zu erhalten liegt bei 0,14 % (also 1:714)

folgendes:

$\begin{eqnarray*} P(I_1)=P(I_2)=P(I_3)=P(I_4)=P(I_5)=\frac 1{714} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} P(I_{unerwuenscht})=1-\frac 5{714} \end{eqnarray*}$ ?

02.03.2017, 13:52

HDsports

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Hallo SiHigh

Ich meinste, nach "wie vielen Versuchen".

Im Schnitt benötigt man 714 Versuche für ein Item.

Wie viele Versuche benötigt man bis man alle 8 Items hat? (davon je 2 x Typ A/B/C und je 1 x Typ D/E)

02.03.2017, 13:55

HAL 9000

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Ok, sieht nach "Multinomial"-Situation aus:

Item 1..3 benötigst du je zweimal, und kommt jeweils mit Wkt 1/714 vor.
Item 4..5 benötigst du je einmal, und kommt jeweils mit Wkt 1/714 vor.
Mit Wkt 709/714 bekommst du keins der 5 Items.

Dann ist bei 8 Items die Wkt., dass du genau die gewünschte Konfiguration bekommst, gleich

$\begin{align*} \frac{8!}{2!^3\cdot 1!^2\cdot 0!} \left(\frac{1}{714}\right)^{2+2+2+1+1} \left(\frac{709}{714}\right)^0 = \frac{5040}{714^8}\approx 7.46\cdot 10^{-20} \end{align*}$ .

Ziemlich gering... Interessanter ist dann wohl die Frage, wenn du $\begin{align*} n\geq 8 \end{align*}$ Items hast, wie da die Wahrscheinlichkeit ist, dass du von jedem der 5 Items deine gewünschten Mindestanzahlen hast. Eine solche Berechnung kann allerdings schon ziemlich happig werden. Augenzwinkern

EDIT: Ok, du hast inzwischen diesbezüglich nachgelegt, hatte ich noch nicht mitgekriegt.

Zitat:

Original von HDsports
Wie viele Versuche benötigt man bis man alle 8 Items hat? (davon je 2 x Typ A/B/C und je 1 x Typ D/E)

Der Zeitpunkt $\begin{align*} N \end{align*}$ , zu dem du alle deine benötigten Karten beisammen hast, ist eine Zufallsgröße. Im worst-case musst du unendlich lange warten, also was willst du von dieser Zufallsgröße wissen: Den Erwartungswert? Den Wert, den $\begin{align*} N \end{align*}$ mit einer vorgegebenen Sicherheit (z.B. 99%) nicht überschreitet? verwirrt

02.03.2017, 14:03

SHigh

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Zitat:

Dann ist bei 8 Items die Wkt., dass du genau die gewünschte Konfiguration bekommst,

Wenn man den letzten Beitrag beachtet, sollte dann nicht statt "Items" sowas wie "Versuche" stehen?
Oder verstehe ich was falsch?

02.03.2017, 14:04

HDsports

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denken wir da nicht zu kompliziert?

Im Prinzip müsste ja man nur berechnen wie viele Items man braucht das man davon Typ A/B/C mindestens 2 x hat und Typ D/E mindestens 1 x hat, wenn pro Item für alle der fünf Typen die Wahrscheinlichkeit gleich ist (also 20 %).

Dann müsste man ja nur den Wert mit 714 multiplizieren..

02.03.2017, 14:31

HDsports

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mal ganz einfach:

wenn die wahrscheinlichkeit bei den 5 items gleich groß ist, dann nehm ich doch einfach die zahl 10 her.

habe ich 10 items so so sollte ich in der theorie jedes item 2 x haben (klar ist es in der Praxis anders)

dann rechne ich einfach 10 x 714 = 7.140
das heißt ich benötige 7.140 Versuche um die 8 Items zu erhalten
(wahrscheinlich sogar etwas weniger, da es theoretisch bei 9,xx sind)

02.03.2017, 14:55

HAL 9000

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Für sehr große $\begin{align*} n \end{align*}$ kann man angesichts der sehr kleinen Item-Wahrscheinlichkeit in erster Näherung annehmen, dass die Anzahl der Items verschiedener Typen sich nicht gegenseitig beeinflussen (tatsächlich ist diese Annahme falsch, aber wie gesagt, in erster Näherung kann man so rechnen):

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, bei $\begin{align*} n \end{align*}$ Items die gewünschten Anzahlen zu bekommen ungefähr $\begin{align*} q_n:=(P(X\geq 2))^3\cdot (P(X\geq 1))^2 \end{align*}$ , falls $\begin{align*} X \end{align*}$ die Anzahl der Items eines gewissen vorgegebenen Typs unter insgesamt $\begin{align*} n \end{align*}$ Items ist. Diese Anzahl ist binomialverteilt $\begin{align*} B(n,p) \end{align*}$ mit $\begin{align*} p=\frac{1}{714} \end{align*}$ . Wir erhalten

$\begin{align*} q_n = \left(1-(1-p)^n-np(1-p)^{n-1}\right)^3 \left(1-(1-p)^n\right)^2 \end{align*}$ .

So erreicht man erstmalig für $\begin{align*} n=2227 \end{align*}$ den Wert $\begin{align*} q_n\geq 0.5 \end{align*}$ , d.h., 2227 ist der Median deiner Zufallsgröße. 99% Sicherheit, also $\begin{align*} q_n\geq 0.99 \end{align*}$ , ist hingegen erst für $\begin{align*} n\geq 5684 \end{align*}$ erreicht.

Ebenfalls basierend auf $\begin{align*} q_n \end{align*}$ kann man den Erwartungswert bestimmen, der ist ungefähr $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} (1-q_n) \approx 2407 \end{align*}$ .

Exakt kann man das ganze mit Siebformel berechnen, aber das werden Monsterterme, und bringt im vorliegenden Fall vermutlich nicht sonderlich viel Genauigkeitsgewinn. Augenzwinkern

EDIT (6.3.17): Hmm ja, wieder einer, der das Interesse verloren hat.

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