Orthonormalbasis bestimmen

02.03.2017, 22:47

Gowri

Auf diesen Beitrag antworten »

Orthonormalbasis bestimmen

Meine Frage:
Hallo zusammen!
Ich muss eine ONB von diesem euklidischen Raum bestimmen und habe ein paar Startprobleme.

Meine Ideen:
Normalerweise wendet man ja das Gram-Schmidt-Verfahren an, um eine ONB zu finden. Doch mir wurde keine Vorgaben zur Basis gegeben. Kann ich da die kanonische Standardbasis (1,0) und (0,1) verwenden, wenn es im Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ betrachtet wird?

Wenn ja, dann nehmen wir mal an:
$\begin{eqnarray*} v_{1} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}und<br /> v_{1} =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich v_{1} und v_{1} in <X,Y> einsetzen?

So wie ich das verstanden habe, ist...
$\begin{eqnarray*} X =\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} , Y =\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Muss ich nun für X und Y die Standardbasis v_1 und v_2 einsetzen?
Ich verstehe leider das Gram-Schmidt-Verfahren nicht, wenn ich noch eine "Funktion" oder ein Skalarprodukt wie diese zu beachten habe. Wie muss man da vorgehen? Kann mir jemand helfen?

Danke!

03.03.2017, 08:15

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: Studiere das Gram-Schmidt Verfahren, denn es ist sehr wichtig.
In diesem Beispiel kann man darauf verzichten und die Standardbasis normieren, weil sie schon orthogonal ist.

03.03.2017, 08:42

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
In diesem Beispiel kann man darauf verzichten und die Standardbasis normieren, weil sie schon orthogonal ist.

Hm. Bei mir ist $\begin{eqnarray*} \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle= 1 \end{eqnarray*}$ und damit sind die nicht orthogonal. verwirrt

verwirrt

03.03.2017, 09:11

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit Danke, damit ist das auch mir klar.
@Gowri Somit komme ich auf meinen Tipp zurück, und stelle noch einmal fest, dass das Gram-Schmidt-Verfahren wichtig ist. Mit welcher Basis man dabei startet, ist egal. Wenn man mit einer orthogonalen Basis startet, muss man nur noch normalisieren (in diesem Beispiel ist es nicht schwer, eine orthogonale Basis zu finden).

03.03.2017, 19:21

Gowri

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Ich habe es nochmals versucht und habe bei diesen Vektoren v_1 und v_2 das Gram-Schmidt-Verfahren angewendet.

$\begin{eqnarray*} v_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} und<br /> v_{2} \begin{pmatrix} -1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Warum diese zwei Vektoren?
Ich habe durch ausprobieren versucht zwei Vektoren zu finden, bei denen die Gleichung gleich null ergibt. (Mit Gleichung meine ich den Term 2x_1y_1+....+2x_2y_2)

So habe ich dann weitergerechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } *\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann:
$\begin{eqnarray*} v_{2} -<v_{2},\frac{1}{\sqrt{2} } *\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}>*\frac{1}{\sqrt{2} } *\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit wäre die ONB:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } *\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kann das sein? Oder habe ich was falsch gemacht?

04.03.2017, 09:09

Gowri

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich noch einen Fehler entdeckt:

Die ONB wäre somit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } *\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix},\frac{1}{\sqrt{2} }*\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Anzeige

04.03.2017, 09:46

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinen Vorschlag, eine Orthogonalbasis zu wählen, hast du angenommen, das ist gut so. Danach ist alles falsch, das ist nicht so gut. Die Norm von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stimmt nicht, Gram-Schmidt hast du zwar hingeschrieben aber nicht wirklich berechnet.

Tipp: Übe etwas mehr, fange mit unterschiedlichen Basen an, und rechne solange, bis du es fehlerfrei beherrschst.

04.03.2017, 10:19

Gowri

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Norm rechnet man doch so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} }*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1^{2} +1^{2} } }*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das gibt dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2} } \\ \frac{1}{\sqrt{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sorry, eigentlich konnte ich mal diese Dinge ohne Probleme, aber bin gerade ein wenig aus der Übung.

04.03.2017, 11:17

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

falsch.

2*1*1+1*1*1+1*1*1+2*1*1=6
Skalarprodukt und Norm gehören zusammen. Norm = Wurzel aus Betrag vom Skalarprodukt

wie kommst du auf 2 ?

04.03.2017, 11:39

Gowri

Auf diesen Beitrag antworten »

So bin ich darauf gekommen:

$\begin{eqnarray*} ||v_{1}|| = ||\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} || =\sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Und dann habe ich eben das gerechnet:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} * \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und wie kommst du genau auf
"2*1*1+1*1*1+1*1*1+2*1*1=6"

Haben mir da die Lehrer im Gymnasium was falsches beigebracht verwirrt

verwirrt

04.03.2017, 11:44

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} ||\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}||=\sqrt{|<\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}>|}=\sqrt{2\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 1\cdot 1}=\sqrt6 \end{eqnarray*}$

Die Lehrer in der Schule arbeiten immer nur mit der Standardbasis und dem Standardskalarprodukt.

04.03.2017, 11:59

Gowri

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, jetzt sehe ich, was ich falsch gemacht habe. Habe vergessen das Skalarprodukt nach meinen Vorgaben auszurechnen. (Den Vektor in die Gleichung einzusetzen)

Habe sie zuerst ganz klassisch ausgerechnet und bin natürlich dadurch auf die falsche Lösung gekommen.

Ich danke dir! Freude

Freude

04.03.2017, 12:43

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Bedenke, dass genau ein gegebenes Skalarprodukt auch bei Gram-Schmidt verwendet werden muss. Auf einem euklidischen oder unitären Raum gibt es viele verschiedene Skalarprodukte, mit denen Abstände und Winkel gemessen werden. Man muss sich jeweils für ein Skalarprodukt entscheiden und damit alle Rechnungen durchführen.

04.03.2017, 15:01

Gowri

Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, gut zu wissen. Gibt es auch weniger lange Wege, um die ONB herauszufinden?

04.03.2017, 17:59

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Gram-Schmidt ist ein Weltklasse-Algorithmus. Nicht nur, dass er zu jeder Basis und jedem Skalarprodukt eine Orthonormalbasis des reellen oder komplexen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -dimensionalen Vektorraums liefert.
Er berechnet sogar in seinem Verlauf zu jeder Basis $\begin{eqnarray*} (b_1,...,b_m) \end{eqnarray*}$ eines reellen oder komplexen Untervektorraums der Dimension $\begin{eqnarray*} m\le n \end{eqnarray*}$
sukzessive Orthonormalbasen $\begin{eqnarray*} (v_1), (v_1,v_2) ,... ,(v_1,...v_m) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} span(v_1)=span(b_1), span(v_1,v_2)=span(b_1,b_2),...,span(v_1,...,v_m)=span(b_1,...,b_m) \end{eqnarray*}$
Mehr kann man sich nicht wünschen smile

smile

04.03.2017, 21:32

Gowri

Auf diesen Beitrag antworten »

okee

smile

Danke für die Erklärung! Freude

Freude

06.03.2017, 08:53

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Elvis
Meinen Vorschlag, eine Orthogonalbasis zu wählen, hast du angenommen, das ist gut so.

Nun ja, jetzt hat Gowri geübt, wie man eine Norm bildet, aber nicht, wie das Gram-Schmidt-Verfahren läuft. Ob das jetzt der Sinn der Aufgabe war?

06.03.2017, 11:31

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war sicher nicht der Sinn der Aufgabe, deshalb habe ich ja auch mehr als deutlich auf die Bedeutung des Algorithmus hingewiesen. Und ich habe gesagt "Übe etwas mehr, fange mit unterschiedlichen Basen an, und rechne solange, bis du es fehlerfrei beherrschst. "

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »