Spur des Frobenius-Endomorphismus

05.03.2017, 15:53	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Spur des Frobenius-Endomorphismus Hallo allerseits, ich habe nun des öfteren über die Spur des Frobenius-Endomorphismus zwischen elliptischen Kurven gelesen. Leider ist mir absolut unklar, wie ich diese berechnen könnte. Sagen wir, wir haben eine elliptische Kurve in kurzer Weiterstraßform gegeben, d.h. $\begin{eqnarray} E: y^2 = x^3 +Ax+B \end{eqnarray}$ dann ist der Frobenius-Endomorphismus definiert als: $\begin{eqnarray} \phi_q((x_1,y_1)) = (x_1^q, y_1^q) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x_1,y_1)\in E \end{eqnarray}$ . (E als affine Varietät betrachtet) Um eine Spur berechnen zu können, müsste ich doch eine darstellende Matrix bestimmen können. Oder irre ich mich da? Ich denke, dass es nicht möglich ist, die Spur des Frobenius in jedem Fall effizient zu berechnen. Anderenfalls wäre es einfach die Ordnung einer Kurve über den Primzahlkörper $\begin{eqnarray} F_q \end{eqnarray}$ zu berechnen, wegen # $\begin{eqnarray} E(F_q) = q+1 - Tr(\phi_q) \end{eqnarray}$ Viele Grüße
05.03.2017, 16:21	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Spur des Frobenius ist die Spur der vom Frobeniushomomorphismus auf dem Tate-Modul induzierten linearen Abbildung. Ad-hoc wird er auch gern mal über # $\begin{eqnarray} q+1-E(F_q) =: Tr(\phi_q) \end{eqnarray}$ definiert.
05.03.2017, 18:11	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese "Definition" habe ich auch oft gelesen. Daher bin ich zum Schluss gekommen, dass sich dieser nicht leicht berechnen lässt. (Es gibt natürlich ausnahmen, wie z.B. die BN-Curves und deren sextic-twist.) Mit dem Tate-Modul kann ich (noch) nichts anfangen.

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