Binomialverteilung und Poissonverteilung

05.03.2017, 16:15

.unknown.

Binomialverteilung und Poissonverteilung

Meine Frage:
Hallo zusammen.

Ich stecke gerade bei folgender Aufgabe fest:

Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ Poisson(1) verteilt. Sei $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} Bin(A,\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$ . Das heisst $\begin{eqnarray*} P(B=b \mid A=a) = \binom{a}{b}(\frac{1}{2})^a \end{eqnarray*}$ . Berechne $\begin{eqnarray*} P(B=b) \end{eqnarray*}$ .

Ich habe versucht das mit bedingter Wahrscheinlichkeit zu lösen. Also
$\begin{eqnarray*} P(B=b \mid A=a) = \frac{P((B=b)\cap(A=a))}{P(A=a)} \end{eqnarray*}$ . und
$\begin{eqnarray*} P(A=a) =\frac{1}{e}\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \in (0,1,...,n) \end{eqnarray*}$ .

Aber irgendwie fehlt mir der Ansatz, um <math>P(B=b)</math> bestimmen zu können.

Danke schon mal für eure Hilfe.

Meine Ideen:
Ich habe versucht das mit bedingter Wahrscheinlichkeit zu lösen. Also
$\begin{eqnarray*} P(B=b \mid A=a) = \frac{P((B=b)\cap(A=a))}{P(A=a)} \end{eqnarray*}$ . und
$\begin{eqnarray*} P(A=a) =\frac{1}{e}\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \in (0,1,...,n) \end{eqnarray*}$ .

Aber irgendwie fehlt mir der Ansatz, um <math>P(B=b)</math> bestimmen zu können.

Danke schon mal für eure Hilfe.

05.03.2017, 16:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von .unknown.
Ich habe versucht das mit bedingter Wahrscheinlichkeit zu lösen. Also
$\begin{eqnarray*} P(B=b \mid A=a) = \frac{P((B=b)\cap(A=a))}{P(A=a)} \end{eqnarray*}$ . und
$\begin{eqnarray*} P(A=a) =\frac{1}{e}\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k \in (0,1,...,n) \end{eqnarray*}$ .

Du bist doch auf dem richtigen Weg - multipliziert ergibt das

$\begin{align*} P((B=b)\cap(A=a) = P(B=b \mid A=a)\cdot P(A=a) = \binom{a}{b}\left(\frac{1}{2}\right)^a \cdot \frac{1}{ea!} \end{align*}$

Jetzt musst du das einfach über alle möglichen Werte von a summieren, dann hast du $\begin{align*} P(B=b) \end{align*}$ , d.h., es ist

$\begin{align*} P(B=b) = \sum_{a=b}^{\infty} \binom{a}{b}\left(\frac{1}{2}\right)^a \cdot \frac{1}{ea!}\qquad (*) \end{align*}$ .

Die Werte $\begin{align*} a<b \end{align*}$ sind unnötig in der Summe, denn es ist ja $\begin{align*} B\leq A \end{align*}$ . Formel (*) ist auch als Formel der totalen Wahrscheinlichkeit bekannt.

05.03.2017, 20:50

.unknown.

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Danke für deine Hilfe smile

05.03.2017, 23:22

HAL 9000

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Es ist dir hoffentlich auch klar, dass du (*) vereinfachen kannst - und auch solltest! D.h., am Ende sollte ein Term ohne Summenzeichen stehen. Augenzwinkern

Etwas allgemeiner gefasst lautet die Aussage übrigens so:

Zitat:

Ist $\begin{align*} A\sim\operatorname{Poisson}(\lambda) \end{align*}$ sowie die bedingte Verteilung von $\begin{align*} B \end{align*}$ unter $\begin{align*} A \end{align*}$ gleich der Binomialverteilung $\begin{align*} B(A,p) \end{align*}$ mit $\begin{align*} p\in(0,1) \end{align*}$ , so gilt $\begin{align*} B\sim\operatorname{Poisson}(p\lambda) \end{align*}$ für die absolute Verteilung von $\begin{align*} B \end{align*}$ .

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