Aufgabe zu Komplexen Schwingungen (Kontrolle + Hilfe)

07.03.2017, 09:32

OhneSinnundVerstand

Aufgabe zu Komplexen Schwingungen (Kontrolle + Hilfe)

Hallo,
ich bitte um Kontrolle + Hilfestellung bei der nachfolgenden Aufgabe:

1)Bestimmen Sie die Überlagerung mit Hilfe der komplexen Rechnung.

a)Geben Sie die komplexen Amplituden an:

$\begin{eqnarray*} u_{1}(t)=2\sin(2\pi t+\frac{\pi}{6} ) \Rightarrow u_{1}=u_{1}e^{j\varphi_{1} }=2e^{j\frac{\pi}{6} }*(e^{j2\pi t}) \end{eqnarray*}$ <= ist dieser Teil für die Amplitude notwendig?

$\begin{eqnarray*} u_{2}(t)=2\sin(2\pi t+\frac{\pi}{2} ) \Rightarrow u_{2}=u_{2}e^{j\varphi_{2} }=2e^{j\frac{\pi}{2} }*(e^{j2\pi t}) \end{eqnarray*}$

b)Geben Sie $\begin{eqnarray*} u_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_{2} \end{eqnarray*}$ in karthesischer Form an:

$\begin{eqnarray*} u_{1}=e^{j2\pi t}(\sqrt{3}+j) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_{2}=e^{j2\pi t}(2j) \end{eqnarray*}$

c)Berechnen Sie die komplexe Amplitude der Überlagerung $\begin{eqnarray*} u=u_{1}+u_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((\sqrt{3}+j)+(2j))e^{2\pi t}=(\sqrt{3}+3j)e^{2\pi t}=2\sqrt{3}e^{j(\frac{1}{3}\pi +2\pi t) } \end{eqnarray*}$

d)Bestimmen Sie die reelle Amplitude und die Nullphase:

$\begin{eqnarray*} u=|u|=2\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varphi =arg(u)=\frac{1}{3}\pi \end{eqnarray*}$

e)Geben Sie die den Imaginärteil $\begin{eqnarray*} u(t)=Im(u*e^{j\omega t}) \end{eqnarray*}$ an.

Ich weiß nicht was damit gemeint ist, würde mir das jemand bitte erklären?

2)Addieren Sie $\begin{eqnarray*} u=u_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u=u_{2} \end{eqnarray*}$ graphisch. Skizzieren sie dazu die reelle Überlagerung $\begin{eqnarray*} u(t)=u_{1}(t)+u_{2}(t)=u*sin(2\pi t+\varphi) \end{eqnarray*}$
Versuchen Sie die Amplitude und die Nullphase aus der Skizze abzulesen.

Hier ist mir das gesamte Prinzip des graphischen Addierens von Sinuskurven unbekannt.
Ich bitte wieder um Erklärung

Vielen Dank für die Mühe im Voraus
und
Liebe Grüße

07.03.2017, 11:23

Steffen Bühler

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RE: Aufgabe zu Komplexen Schwingungen (Kontrolle + Hilfe)
Der "Schwinger" $\begin{align*} e^{i \cdot 2 \pi t } \end{align*}$ gehört in der Tat nicht zur Amplitude, denn die ist ja nicht zeitabhängig. Für a, b und c muss er daher weggelassen werden. Bei c muss die Polardarstellung dann noch entsprechend umgeformt werden.

Teil d ist korrekt. Für Teil e denk an $\begin{align*} e^{i \cdot \omega t} = \cos \omega t + i \cdot \sin \omega t \end{align*}$ . Dann sammle alles beim i zusammen.

Und diese zwei Sinusschwingungen kannst Du wirklich nicht zeichnerisch addieren?

Viele Grüße
Steffen

07.03.2017, 11:37

OhneSinnundVerstand

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Hallo Steffen,

Wie meinst du das mit der Umformung der Polardarstellung bei c?

Meinst du eventuell $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}e^{\frac{1}{3}\pi j }*e^{2\pi tj} \end{eqnarray*}$ ?

e) Ich versuchs mal... $\begin{eqnarray*} e^{2\pi tj}= cos(2\pi t)+j*sin(2\pi t)=>Im(z)=0 \end{eqnarray*}$

Zu 2) Nein, ich hab wirklich keine Ahnung wie das geht. Ich hab anscheinend sowohl damals in der Schule,als auch in der Uni gepennt als es erklärt wurde....falls es erklärt wurde.Ich nehme an,dass es erklärt wurde Ups

Vielen Dank

und

Liebe Grüße

07.03.2017, 11:48

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von OhneSinnundVerstand
Meinst du eventuell $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}e^{\frac{1}{3}\pi j }*e^{2\pi tj} \end{eqnarray*}$ ?

Genau das.

Zitat:

Original von OhneSinnundVerstand
e) Ich versuchs mal... $\begin{eqnarray*} e^{2\pi tj}= cos(2\pi t)+j*sin(2\pi t) \end{eqnarray*}$

Du musst noch den Faktor $\begin{align*} u= \sqrt 3 + 3i \end{align*}$ dazunehmen. Dann ausmultiplizieren und Imaginärteile separieren.

Was das grafische Addieren betrifft: einfach Punkt für Punkt. Wobei die Punkte ruhig etwas auseinanderliegen können. In diesem Fall ergibt sich etwa der Wert bei x=0 zu 3. Siehst Du das? Nun würde ich den Punkt berechnen, wo die grüne Kurve durch Null geht. Dann dort, wo grüne und rote Kurve sich gerade ausgleichen.

Zur Not nimm ein Lineal und miss jeweils die y-Werte der grünen und roten Kurve, dann addiere sie.

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