Sinussatz im stumpfen Dreieck

09.03.2017, 19:50

Barbiegirl

Sinussatz im stumpfen Dreieck

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein Problem mit einer Aufgabe:

geg. Dreieck: b= 9,1, c=6,4, alpha = 37°
ges: beta, a

Meine Ideen:
Die Lösung mit Hilfe einer Höhe liefert mit a= 5,54 und beta = 99°, was nach Konstruktion auch stimmt. Da wir aber gerade den Kosinus- und Sinussatz gemacht haben, wollte ich das auch damit probieren. mit dem Kosinussatz bekomme ich a = 5,54. Der Sinussatz liefert mit beta = 80,6°. Mir ist klar, dass der arcsin nur Werte bis 90° liefert. Kann ich dann den Sinussatz im stumpfen Dreieck benutzen?

Danke

09.03.2017, 20:30

mYthos

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Selbstverständlich kann der $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ auch größere Winkel als 90° liefern, denn z.B. sind sin(81°) und sin(99°) beide gleiche Werte.
Und ja, der Sinussatz kann auch bei einem Winkel, der größer als 90° ist, verwendet werden.
In diesem Fall sind dann die beiden anderen Winkel mit Sicherheit spitz.

Hier geht es nun um die Frage, ob $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ein spitzer oder stumpfer Winkel ist.

Berechne dazu - mit dem Sinussatz - zunächst $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ .
Auf Grund des Satzes, dass der kleineren/größeren Dreieckseite auch der kleinere/größere Winkel gegenüberliegt, kannst du über den Winkel $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ entscheiden.
Der Winkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ folgt letztendlich aus der Winkelsumme.

mY+

09.03.2017, 23:46

Leopold

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Zitat:

Original von mYthos
Selbstverständlich kann der $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ auch größere Winkel als 90° liefern, denn z.B. sind sin(81°) und sin(99°) beide gleiche Werte.

Das würde ich so nicht unterschreiben. Beim Hauptzweig der reellen Arcussinusfunktion - und der ist, solange nicht ausdrücklich anderes bekundet wird, immer gemeint - liegen die Werte im Intervall $\begin{align*} \left[ - \frac{\pi}{2} \, , \, \frac{\pi}{2} \right] \end{align*}$ oder, von mir aus, $\begin{align*} \left[ -90^{\circ} \, , \, 90^{\circ} \right] \end{align*}$ . Dessen ungeachtet kann natürlich eine Gleichung $\begin{align*} \sin \varphi = r \end{align*}$ je nach geometrischem Zusammenhang auch Lösungen außerhalb dieses Intervalls besitzen.
Das ist letztlich dasselbe Phänomen wie bei der reellen Wurzelfunktion, deren Werte immer als nichtnegativ angenommen werden. Dennoch können bei einer Gleichung $\begin{align*} x^2 = r \end{align*}$ auch negative Lösungen interessieren.

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