Satz von Euler

09.03.2017, 23:42

logloglog

Satz von Euler

Meine Frage:
Hallo zusammen,

zur Vorbereitung auf meinen anstehenden Master (nach etwa 2 Jahren Knechten) habe ich angefangen ein Zahlentheorie Skript zu lesen. Nach dem Satz von Euler gilt es nun eine Ungleichung zu zeigen... wo wir schon bei meinem Problem sind.

Zu zeigen:

Voraussetzungen: x > 1 und n = m^2 * f mit quadratfreiem f

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{p\in P, p \leq x}^{}1/p \geq log(log(x)) - log(2) \end{eqnarray*}$

Im Skript wird nun die folgende Ungleichung für den Beweis verwendet

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n\leq x} \frac{1}{n} \leq \sum\limits_{m\leq \sqrt{x} } \frac{1}{m^2} \sum\limits_{f \leq x} \frac{1}{f} \leq 2 \prod\limits_{p\in P \leq x} (1+\frac{1}{p} ) \leq 2* exp(\sum\limits_{p\in P \leq x} \frac{1}{p} ) \end{eqnarray*}$

Mit der Ungleichung lässt sich das Ganze recht simpel Beweisen. So ganz klar ist sie mir allerdings nicht.

Meine Ideen:
Der erste Teil :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n\leq x} \frac{1}{n} \leq \sum\limits_{m\leq \sqrt{x} } \frac{1}{m^2} \sum\limits_{f \leq x} \frac{1}{f} \end{eqnarray*}$

Scheint mir recht klar wegen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n\leq x} = (1/1 + 1/2 + ... 1/x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m\leq \sqrt{x} } \frac{1}{m^2} \sum\limits_{f \leq x} \frac{1}{f} = (1/1 + 1/4 + ... 1/x)*(1/1 + 1/2 + ... + 1/x) \end{eqnarray*}$

Nun der nächste Teil:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{m\leq \sqrt{x} } \frac{1}{m^2} \sum\limits_{f \leq x} \frac{1}{f} \leq 2 \prod\limits_{p\in P \leq x} (1+\frac{1}{p} ) \end{eqnarray*}$

da

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{} \frac{1}{m^2} = pi^2/6 \end{eqnarray*}$

ist mir die Abschätzung der erste Summe halbwegs klar, wobei ich nicht verstehe weswegen wir nicht einfach pi^2 / 6 statt der 2 schreiben...

Weswegen nun jedoch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{f \leq x} \frac{1}{f} \leq \prod\limits_{p\in P \leq x} (1+\frac{1}{p} ) \end{eqnarray*}$

sein soll, kann ich nicht nachvollziehen. Ich vermute, dass ich in dem gesamten 2ten Teil der Ungleichung etwas übersehe verwirrt

Der letzte Schritt scheint mir wegen

$\begin{eqnarray*} e^x \geq 1 + x \end{eqnarray*}$

klar zu sein.

Durch Logarithmieren der Ungleichung (und einer kleinen Abschätzung von Log(x) durch die Summe 1/n) ergibt sich recht schnell was zu zeigen ist.

Kurze Zusammenfassung meines Problems:

- Ist die von mir gewählte Herangehensweise zum Verständnis der Ungleichung überhaupt der richtige Weg? (entschuldigt, ich bin eingerostet und im Moment total verunsichert traurig

)
- Lässt sich die Summe durch das Produkt so abschätzen?
- Wozu soll n = m^2 * f mit quadratfreiem f gut sein ???? Die Abschätzung scheint mir (bisher) davon unabhängig zu sein und nur die (möglicherweise) unnötige 2 ins Spiel zu bringen...
- Ich habe das Gefühl ich sollte die Erkenntnisse aus dem Euler-Produkt hier einsetzen...

Grüße

10.03.2017, 00:06

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von logloglog
da

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{} \frac{1}{m^2} = pi^2/6 \end{eqnarray*}$

ist mir die Abschätzung der erste Summe halbwegs klar, wobei ich nicht verstehe weswegen wir nicht einfach pi^2 / 6 statt der 2 schreiben...

Vielleicht ist der Autor einfach schreibfaul, und 2 genügt ihm auch. Deswegen wird hier mal geklotzt statt gekleckert. smile

Zitat:

Original von logloglog
Weswegen nun jedoch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{f \leq x} \frac{1}{f} \leq \prod\limits_{p\in P \leq x} (1+\frac{1}{p} ) \end{eqnarray*}$

sein soll, kann ich nicht nachvollziehen.

Multipliziere einfach mal das rechte Produkt aus: Da steht dann eine Summe von Kehrwerten von quadratfreien Zahlen, wobei garantiert alle solchen quadratfreien Zahlen $\begin{eqnarray*} \leq x \end{eqnarray*}$ dabei sind (sogar etwas mehr, deswegen das $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ in der Ungleichung).

Nehmen wir beispielsweise mal $\begin{align*} x=10 \end{align*}$ :

$\begin{align*} \prod_{\substack{p\in P\\p\leq 10}} \left(1+\frac{1}{p}\right) &= \left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{5}\right)\left(1+\frac{1}{7}\right)\\ &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{10} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{30} + \frac{1}{35} + \frac{1}{42} + \frac{1}{70} + \frac{1}{105} + \frac{1}{210}\\ &\geq 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{10} = \sum_{f\leq 10} \frac{1}{f} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von logloglog
Der letzte Schritt scheint mir wegen

$\begin{eqnarray*} e^x \geq 1 + x \end{eqnarray*}$

klar zu sein.

Richtig.

P.S.: Der Weg über die quadratfreien Zahlen ist nicht zwingend nötig, es geht z.B. auch so: Es ist

$\begin{align*} \sum_{n\leq x} \frac{1}{n} &\leq \prod_{\substack{p\in P\\ p\leq x}} \left(1-\frac{1}{p}\right)^{-1} = \prod_{\substack{p\in P\\ p\leq x}} \left(1+\frac{1}{p-1}\right) = 2\prod_{\substack{p\in P\\ 3\leq p\leq x}} \left(1+\frac{1}{p-1}\right)\\ &\leq 2\exp\left( \sum_{\substack{p\in P\\ 3\leq p\leq x}} \frac{1}{p-1} \right) \leq 2\exp\left( \sum_{\substack{p\in P\\ 3\leq p\leq x}} \frac{1}{p} + \sum_{k=3}^{\infty} \left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right) \right) = 2\exp\left( \sum_{\substack{p\in P\\ p\leq x}} \frac{1}{p} \right) \end{align*}$

10.03.2017, 17:02

log^3

Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Vielen Dank, damit hast du mir super weitergeholfen Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Satz von Euler

Verwandte Themen