Doppelsumme mit Teleskopsumme?

10.03.2017, 19:26

Lehi

Doppelsumme mit Teleskopsumme?

Ich hänge bei folgendem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(n+k)(n+k-1)^2} \end{eqnarray*}$

für mich sieht es verdächtig nach einer Teleskopsumme aus, aber ich komme einfach auf keinen Grünen Zweig mit der Berechnung des Grenzwertes. Ich würde mich freuen wenn mir hier jemand einen Stoß in die richtige Richtung geben kann.

Vielen Dank im Voraus für eure Tipps Wink

10.03.2017, 20:40

HAL 9000

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Zunächst mal "substituiere" die äußere Summationsvariable $\begin{align*} n \end{align*}$ durch $\begin{align*} m=n+k \end{align*}$ :

Dann ist nämlich $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(n+k)(n+k-1)^2} = \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{m(m-1)^2} = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m(m-1)} \end{align*}$ .

10.03.2017, 21:24

Lehi

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Vielen dank ans Summieren über die Diagonalen hab ich gar nicht gedacht. Hammer

da

$\begin{eqnarray*} a_{n,k} :=\frac{1}{(n+k)(n+k-1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n,k} = a_{n+1,k-1} \end{eqnarray*}$

folgt mit Teleskopsumme

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{d=2}^{\infty} \sum\limits_{m=1}^{d-1} a_{m,d-m} = \sum\limits_{d=2}^{\infty} (d-1)a_{1,d-1} = \sum\limits_{d=2}^{\infty} (d-1)\frac{1}{(1+d-1)(1+d-1-1)^2} = \sum\limits_{d=2}^{\infty} \frac{1}{d(d-1)} = 1 \end{eqnarray*}$

Da diese Reihe absolut- und somit unbedingt konvergiert, konvergiert auch die Umordnung

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(n+k)(n+k-1)^2} \end{eqnarray*}$

gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

10.03.2017, 21:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lehi
Da diese Reihe absolut- und somit unbedingt konvergiert, konvergiert auch die Umordnung

Dazu sei noch bemerkt: Bei Reihen mit positiven Gliedern ändert jegliche Umordnung nichts am Konvergenzverhalten und am (ggfs. uneigentlichen) Reihenwert. D.h., entweder konvergiert die Reihe, und dann auch absolut, oder sie divergiert bestimmt gegen $\begin{align*} \infty \end{align*}$ .

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