Kombinatorik Zahl mit absteigenden Ziffern

12.03.2017, 05:39	Daggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik Zahl mit absteigenden Ziffern Meine Frage: Wie viele Möglichkeiten gibt es eine Zahl mit absteigenden Ziffern zu bilden? Wobei die sich folgenden Ziffern nicht unmittelbar auf ein der folgen müssen, aber kleiner als ihr Vorgänger sein müssen. Also 9876, 9765, 9743,9621, 9620 etc. Meine Ideen: Eine unserer Lösungen war 7hoch4. Weil, wenn man sich die Möglichkeiten für jede Stelle neben einander aufschreibt immer 7 da sind.Allerdings ist mir jetzt aufgefallen, dass das nicht sein kann, weil eine 3 auf der ersten Stelle keine 7 Möglichkeiten für di,e 2 Stelle hat. Ich würde etwas mit Fakultät rechnen.7*9!/7 also 7 Möglichkeiten für den Tausender, Dann variation ohne Whg. für die nächsten 3 Ziffern. Das kann es aber auch noch nicht sein, weil ich dann das Prinzip des Absteigens nicht habe.
12.03.2017, 10:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es nur um vierstellige Zahlen geht: $\begin{align} \binom{10}{4} = 210 \end{align}$ , denn die Zahl ist bereits eineindeutig durch die Auswahl der vier Ziffern bestimmt - einfach diese vier absteigend anordnen! Ist die Ziffernzahl variabel, dann sind es insgesamt $\begin{align} \sum_{k=1}^{10} \binom{10}{k} = 2^{10}-1 = 1023 \end{align}$ Zahlen.
12.03.2017, 10:47	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik Zahl mit absteigenden Ziffern Eine ganz einfache Lösung fällt mir nicht ein. Über die Betrachtung der möglichen Differenzen zwischen aufeinanderfolgenden Ziffern und zwischen der letzten Ziffer und 0 kann man für die Zahl der Möglichkeiten herleiten $\begin{eqnarray} N=\sum_{k=3}^9 \binom k 3 =210 \end{eqnarray}$ Man kann noch herleiten $\begin{eqnarray} \sum_{k=3}^n \binom k 3 =\sum_{k=0}^n \binom k 3 = \sum_{k=0}^n \frac {k(k-1)(k-2)}{6}=\frac {1}{24}(n-2)(n-1)n(n+1) \end{eqnarray}$ was mit $\begin{eqnarray} n = 9 \end{eqnarray}$ wieder auf das genannte Ergebnis führt. Edit: Zu spät und zu umständlich

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