f(A+B) = f(A) + f(B) beweisen

12.03.2017, 15:28

Top-SecreT

f(A+B) = f(A) + f(B) beweisen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper und $\begin{eqnarray*} f : M_{22}(K) \to K \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \to ad-bc \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{22}(K) \end{eqnarray*}$ .

Beweisen oder widerlegen Sie die Behauptung
Für alle $\begin{eqnarray*} A, B \in M_{22}(K) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(A + B) = f(A) + f(B) \end{eqnarray*}$

Soweit ich das jetzt rausgefunden habe ist die Aussage unwahr (oder ich habe einen Denkfehler) aber ich kann als Gegenbeispiel keine Matrix finden bei der es nicht funktioniert.

Meine Ideen:
Mein Weg war jetzt
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(A+B) = f(\begin{pmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A+B) = (a+e)\cdot(d+h)-(b+f)\cdot(c+g) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A+B) = (ad+ah+ed+eh)-(bc+bg+fc+fg) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(A+B) = ad+ah+ed+eh-bc-bg-fc-fg \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(A)+f(B) = ad-bc+eh-fg \end{eqnarray*}$

Also nach der Formel sieht es so aus als wäre die Behauptung falsch aber wie gesagt ich habe schon an die 10 Matrizen miteinander ausprobiert da stimmt es jedes mal.

Hat jemand einen Tip für mich?

12.03.2017, 15:40

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstaunlich, wo es doch so viele Gegenbeispiele gibt.
Denk Dir z.B. eine invertierbare Matrix aus und addiere ihr negatives dazu.

12.03.2017, 16:18

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah sehr schön jetzt habe ich ein Gegenbeispiel. Vielen Dank! Aber woher soll ich denn wissen dass es jetzt eine invertierbare Matrix sein muss? Da komm ich doch nie von alleine drauf unglücklich

12.03.2017, 16:53

SHigh

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

aus deiner Rechnung geht doch hervor, dass

$\begin{eqnarray*} \Delta(A,B) := f(A+B)-(f(A)+f(B))=ah+ed-bg-fc \end{eqnarray*}$ .

Wähle doch z.B. einfach $\begin{eqnarray*} a=h=1 \end{eqnarray*}$ und alle anderen Einträge 0, dann ist $\begin{eqnarray*} \Delta(A,B)=1 \end{eqnarray*}$ und damit bist du fertig.

12.03.2017, 16:55

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich leider nicht. Was bedeutet das Dreieck? a = 1, alle anderen Einträge 0 und die andere Matrix?

12.03.2017, 17:30

SHigh

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir doch nur $\begin{eqnarray*} \Delta(\cdot,\cdot) \end{eqnarray*}$ definiert, um mir Schreibarbeit zu sparen.

Zitat:

Wähle doch z.B. einfach $\begin{eqnarray*} a=h=1 \end{eqnarray*}$ und alle anderen Einträge 0

Wähle also z.B.

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

dann gilt

$\begin{eqnarray*} \Delta(A,B)=1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} f(A)+f(B) \ne f(A+B) \end{eqnarray*}$ .

12.03.2017, 18:02

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast Recht. Mit diesen Matrizen geht es auch. Aber wie bist du jetzt darauf gekommen dass du a und h = 1 nimmst und den Rest 0?

12.03.2017, 18:28

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ziemlich einfach: SHigh hat die Differenz der beiden Ausdrücke genommen. Wäre die Formel richtig, müsste die Differenz immer Null ergeben. $\begin{align*} f(A+B)=f(A)+f(B) \Leftrightarrow f(A+B)-(f(A)+f(B))=0 \end{align*}$

Als Differenz bekommt man die schon erwähnten $\begin{align*} ah+ed-bg-fc \end{align*}$ . Alles was man für ein Gegenbeispiel braucht, ist also eine geeignete Wahl der Variablen, so dass diese Formel nicht Null ergibt.

12.03.2017, 19:15

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh das ist toll.
Vielen Dank für eure verständlichen Erklärungen!

Neue Frage »

Antworten »

f(A+B) = f(A) + f(B) beweisen

Verwandte Themen