Zylinderberechnung - geringste Oberfläche bei gegebenem Volumen

12.03.2017, 16:38

keinMatheGenius

Zylinderberechnung - geringste Oberfläche bei gegebenem Volumen

Meine Frage:
Hallo,
gesucht ist der Durchmesser und die Höhe einer Zylinderblechdose, bei geringstem Blechverbrauch und dem Volumen=0,5L.

V=0,5L=500cm³
V_Zylinder= pi*r²*h
500cm³=pi*r²*h

Das verbrauchte Blech steht für die Ober-/Unter- und Mantelfläche des Zylinders:
A_mantel= 2*pi*r
A_Kreis= pi*r²
A_ges= 2*pi*r + 2*pi*r²

Nun 500cm³=pi*r²*h nach einer beliebigen Variable umformen:
$\begin{eqnarray*} h=\frac{500cm³}{pi*r²} \end{eqnarray*}$

In A_ges einsetzen und vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1000cm³}{r}+ 2 \pi r² \end{eqnarray*}$

Beide Ableitungen bilden:
$\begin{eqnarray*} <br /> A'(r)=- \frac{1000cm³}{r²}+4 \pi r<br /> A''(r)=\frac{2000cm³}{r³}+4 \pi<br /> \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich vermute, dass die geringste Menge an Blech für einen Extrempunkt, genauer ein Minimum steht.
Nun würde ich die erste Ableitung = 0 setzen und r ausrechnen.
Mein r ist hier $\begin{eqnarray*} r=\frac{\sqrt{10\sqrt{10}}cm}{\sqrt{2\sqrt{\pi}}} \end{eqnarray*}$ .
Ich bin mir nicht sicher, ob das richtig ist.

Anschließend in die zweite Ableitung einsetzen, was bei mir $\begin{eqnarray*} 400\sqrt{\frac{\pi}{10}}+ 4\pi \end{eqnarray*}$ ergibt.

Wie schreite ich nun fort? Ist es bis hierhin überhaupt richtig?
Vielen Dank im Voraus.

12.03.2017, 18:21

Bürgi

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RE: Zylinderberechnung - geringste Oberfläche bei gegebenem Volumen
Guten Abend,

hier

Zitat:

A_ges= 2*pi*r + 2*pi*r²

ist ein kleiner Fehler. Richtig müsste es heißen:
A_ges= 2*pi*r*h + 2*pi*r²

Allerdings hast Du diesen Term in Deinen weiteren Berechnungen benutzt. Freude

Deine weiteren Überlegungen sind richtig.

Allerdings ist Dir beim Lösen dieser Gleichung

$\begin{eqnarray*} <br /> 0=- \frac{1000cm³}{r²}+4 \pi r \end{eqnarray*}$

irgendwo ein Fehler unterlaufen:

$\begin{eqnarray*} 0=- \frac{1000cm³}{r²}+4 \pi r ~\implies~ \frac{1000}{4 \pi}= r^3 ~ \implies~ \frac{1000}8 \cdot \frac2{\pi}=r^3 \end{eqnarray*}$

Dieser Wert ist positiv. Wenn Du einen positiven Wert in Deine 2. Ableitung einsetzt, erhältst Du ebenfalls einen positiven Wert. Und dieses Ergebnis müsste Dir etwas sagen.

EDIT: Hinweis $\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt{a}} \ne \sqrt[3]{a} \end{eqnarray*}$

12.03.2017, 19:41

keinMatheGenius

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Hallo Bürgi,

ich habe das Problem mittlerweile schon gelöst. Es lag daran, dass das Ergebnis in dm und nicht in cm angegeben wurde.

Vielen Dank!

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