Vektorraum Euklid n- Dimensional

13.03.2017, 14:02	nmr112233	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum Euklid n- Dimensional Hallo, ich soll zeigen, dass es nur eine Lösung gibt: $\begin{eqnarray} \|\| u - z\|\| \leq \|\|v - z\|\| <br /> <br /> z\in E<br /> \forall v \in K (K konvex und geschlossen)<br /> u\in K \end{eqnarray}$
13.03.2017, 14:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum Euklid n- Dimensional Etwas sauberer: Sei $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ ein endlich dimensionaler Euklidischer Vektorraum. Sei $\begin{eqnarray} z \in E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K \subset E \end{eqnarray}$ konvex und abgeschlossen. Dann existiert genau ein $\begin{eqnarray} u \in K \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \\| u -z \\| \leq \\| v - z\\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} v \in K \end{eqnarray}$ . Ist das die korrekte Aufgabenstellungen? Edit: Offenbar braucht man $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ nicht-leer....
13.03.2017, 14:15	nmr112233	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum Euklid n- Dimensional Ja, das ist richtig. Danke!
13.03.2017, 14:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum Euklid n- Dimensional Bei dir ist nicht wirklich deutlich geworden, ob du die Existenz brauchst oder nur die Eindeutigkeit. Falls ja: Für die Existenz: Zeige, dass $\begin{eqnarray} 0 \leq \inf_{v \in K} \\| v - z\\| < \infty \end{eqnarray}$ . Sei dann $\begin{eqnarray} m := \inf_{v \in K} \\| v - z\\| \end{eqnarray}$ . Damit existiert eine Folge $\begin{eqnarray} (u_j ) \subset K \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \\| u_j - z \\| \to m \end{eqnarray}$ . Überlege dir was Häufungspunkte $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ der Folge leisten. Für die Eindeutigkeit: Nimm an es gibt 2 Minimierer. Zeige, dass der Mittelpunkt der beiden Minimierer ebenfalls in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist, und noch näher an $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ liegt.

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