Invertierbarkeit einer Matrix beweisen

13.03.2017, 18:48	Mophotla	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbarkeit einer Matrix beweisen Es sei $\begin{align} \left\lVert\cdot\right\rVert:\mathbb R^{n\times n}\to\mathbb R \end{align}$ eine submultiplikative Matrixnorm und $\begin{align} B\in\mathbb R^{n\times n} \end{align}$ , sodass $\begin{align} \left\lVert B\right\rVert<1 \end{align}$ . Ich möchte beweisen, dass $\begin{align} B+I_n \end{align}$ invertierbar ist. Leider sehe ich überhaupt keinen Zusammenhang zwischen einer Matrixnorm und Invertierbarkeit einer Matrix. Ich habe versucht, irgendwie von der Norm auf die Determinante von $\begin{align} B+I_n \end{align}$ zu kommen (denn die soll ja ungleich 0 sein), bin aber nicht weitergekommen. Wie könnte ich vorgehen?
13.03.2017, 20:30	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Invertierbarkeit einer Matrix beweisen Lass Dich von der geometrischen Reihe $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3\pm\cdots \end{eqnarray}$ inspirieren und probiere $\begin{eqnarray} (I+B)^{-1}=I-B+B^2-B^3\pm\cdots \end{eqnarray}$ aus.

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