Vereinfachen von Logarithmenfunktion mit Wurzel

16.03.2017, 11:43	Finkle	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinfachen von Logarithmenfunktion mit Wurzel Meine Frage: Hallo liebes Forum, ich stehe vor meinem ersten Semester Informatik und bereite mich gerade auf den Mathematik Anteil vor. Der war leider schon damals in der Schule nicht meine Stärke, ich war ein fauler Schüler jetzt bereue ich es und arbeite brav die alten Lambacher Schweizer auf. Allerdings habe ich mir von ein paar höheren Semestern alte Übungsblätter besorgt und löse diese gerade. Dabei bin ich auf folgende Frage gestoßen. Es gilt, den Ausdruck zu vereinfachen, dabei sind a,b,r,x > 0, b!= 1 und x>a $\begin{eqnarray} <br /> y=\frac{1}{2} ln(\frac{x}{a} + \sqrt{ \frac{x^2}{a^2} -1 } ) - \frac{1}{2} ln( \frac{1}{x- \sqrt{x^2 - a^2}} ) + ln(\sqrt{a})<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Der mittlere ln Therm erscheint mir leicht zu vereinfachen, denn wegen $\begin{eqnarray} <br /> ln(\frac{1}{v}) = ln(1) - ln(v) = -ln(v)<br /> \end{eqnarray}$ gilt ja hier einfach $\begin{eqnarray} <br /> + \frac{1}{2} ln(x- \sqrt{x^2 - a^2})<br /> \end{eqnarray}$ Für den hinteren Ausdruck muss ja gelten, dass $\begin{eqnarray} <br /> ln(\sqrt{a}) = ln(a^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}ln(a)<br /> \end{eqnarray}$ Doch bei dem ersten ln Ausdruck finde ich keinen Ansatz. Natürlich habe ich schon WolframAlpha bemüht, welches für positive a und x folgendes liefert $\begin{eqnarray} <br /> log(x-\sqrt{x^2-a^2}) + log(\sqrt{x^2-a^2}+x) - \frac{log(a)}{2}<br /> \end{eqnarray}$ Wie kommt hier also die Umformung von $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{2} ln(\frac{x}{a} + \sqrt{ \frac{x^2}{a^2} -1 } )<br /> \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} <br /> + log(\sqrt{x^2-a^2}+x<br /> \end{eqnarray}$ zustande? (Mir ist klar, dass hier irgendwo 2 gerechnet wurde, geht mehr um den ln Ausdruck). Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Ein Link zur Rechenregel würde schon reichen, ich komm einfach nicht zu einem Ansatzpunkt.
16.03.2017, 11:50	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinfachen von Logarithmenfunktion mit Wurzel Ich würde erst mal $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} ln(\frac{x}{a} + \sqrt{ \frac{x^2}{a^2} -1 } ) + ln(\sqrt{a}) \end{eqnarray}$ zusammenfassen. Schreibe dazu $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} ln(\frac{x}{a} + \sqrt{ \frac{x^2}{a^2} -1 } ) + \frac 1 2 ln(a) \end{eqnarray}$ , klammere 1/2 aus und fasse die beiden Logarithmen zusammen.
16.03.2017, 12:25	Finkle	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Danke dir! Sprich ich vereinfache so weiter $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{2} ln( \frac{x}{a} + \sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}) + \frac{1}{2}ln(a)\\<br /> = \frac{1}{2} (ln( \frac{x}{a} + \sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}) + ln(a)) \text{\qquad hier 1/2 ausklammern}\\<br /> = \frac{1}{2} * (ln (( \frac{x}{a} + \sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}) * a)) \text{\qquad dann logarithmen zusammenfassen}\\<br /> = \frac{1}{2} * (ln ( x + \sqrt{\frac{x^2a^2}{a^2}-1a^2})) \text{\qquad a wird als a hoch 2 in die Wurzel gezogen}\\<br /> = \frac{1}{2} * ln ( x + \sqrt{x^2-a^2}))<br /> \end{eqnarray*}$ Richtig? Jetzt frag ich mich natuerlich noch, wieso bei der Ausgabe von WolframAlpha der hintere Ausdruck (also die ln(sqrt(a)) ) noch im vereinfachten Ergebnis da stehen (als ln(a) / 2 ).
16.03.2017, 13:27	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinfachen von Logarithmenfunktion mit Wurzel Eins nach dem anderen. Jetzt mußt du noch zu deinem Ergebnis diesen Summanden addieren: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} ln(x- \sqrt{x^2 - a^2}) \end{eqnarray}$
16.03.2017, 16:01	Finkle	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst, weil das da oben nur ein Teilergebnis ist? Klar Also wird aus $\begin{eqnarray} <br /> y=\frac{1}{2} ln(\frac{x}{a} + \sqrt{ \frac{x^2}{a^2} -1 } ) - \frac{1}{2} ln( \frac{1}{x- \sqrt{x^2 - a^2}} ) + ln(\sqrt{a}) \\<br /> \end{eqnarray}$ Folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} <br /> y= \frac{1}{2} ln(x+\sqrt{ x^2 - a^2 } ) + \frac{1}{2} ln( x - \sqrt{x^2 - a^2} ) \\<br /> \text{bzw.}\\<br /> y= \frac{1}{2}(ln(x+\sqrt{ x^2 - a^2 } ) + ln( x - \sqrt{x^2 - a^2} )) \\<br /> \end{eqnarray*}$
16.03.2017, 18:14	Scotty1701D	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, die beiden Logarithmen kann man jetzt noch zusammenfassen und erhält dann einen Term, der sich noch stark vereinfachen lässt.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »