Aussagen beweisen: Spur von Matrizen - Seite 2

20.03.2017, 18:43

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist trivial .
Annahme: AB-BA=I . Berechne die Spur der linken und rechten Seite.

20.03.2017, 19:08

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe keine Ahnung wie ich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^nb_{ki}a_{ik}<br /> \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^na_{ik}b_{ki} \end{eqnarray*}$ abziehen kann

Die Spur von $\begin{eqnarray*} I_n = \sum_{k=1}^ni_{kk} \end{eqnarray*}$

20.03.2017, 19:19

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Top-SecreT
Ich habe keine Ahnung wie ich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^nb_{ki}a_{ik}<br /> \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^na_{ik}b_{ki} \end{eqnarray*}$ abziehen kann

Wir haben 3 Tage gebraucht, um dir beizubringen, wie man das macht. Jetzt musst du es können. Du sollst doch nur $\begin{eqnarray*} Sp(BA) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Sp(AB) \end{eqnarray*}$ abziehen.

20.03.2017, 19:31

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Na kann ich doch nur indem ich es als Summen aufschreibe. Die andere Schreibweise war ja falsch aber wie man es subtrahiert haben wir nicht durchgesprochen Erstaunt1

Erstaunt1

Erstaunt1

Erstaunt1

Wir haben es doch nur verglichen wie soll ich jetzt darauf wieder kommen? Ich verzweifel hier, ehrlich Tränen

Tränen

20.03.2017, 19:38

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

ich möchte es gar nicht laut sagen, sonst wird es peinlich. also ganz unter uns: die beiden Zahlen sind gleich Big Laugh

Big Laugh

20.03.2017, 19:51

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ja richtig Big Laugh

Big Laugh

Ich glaub es wird mal Zeit für mich abzuschalten und einen anderen Tag weiterzumachen.
Die Nicht-Kommutativität der Matrizenmultiplikation hat mich hier irritiert.

Also könnte ich schreiben:
Da jede Zahl der Hauptdiagonale von $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ 1 ergeben muss und man anhand von Aussage 3 sieht dass $\begin{eqnarray*} Spur(AB) = Spur(BA) \end{eqnarray*}$ ist und somit immer 0 ergibt, ist es ausgeschlossen dass es quadratische Matrizen gibt für die gilt $\begin{eqnarray*} AB - BA = I_n \end{eqnarray*}$

Anzeige

20.03.2017, 19:56

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} Sp(AB-BA)=Sp(AB)-Sp(BA)=0, Sp(I_n)=n \end{eqnarray*}$ , und im allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} n\ne 0 \end{eqnarray*}$
Aber Vorsicht: es gibt Körper mit n=0. Hier muss man also genauer sagen, aus welchem Körper die Matrixelemente stammen.

20.03.2017, 20:31

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ok formale Schreibweise...die muss auch noch in meinen Kopf.
Ich danke dir vielmals du warst mir eine sehr große Hilfe Gott

Gott

20.03.2017, 23:05

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt kann man gar nicht vorsichtig genug sein. Ich habe tatsächlich ein Beispiel konstruieren können mit $\begin{eqnarray*} A,B\in Mat_{2,2}(\mathbb F_2):AB-BA=I_2 \end{eqnarray*}$

21.03.2017, 07:57

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie das? Also gibt es doch welche?

21.03.2017, 08:20

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt mehr Körper, als sich deine Schulweisheit träumen lässt. Du musst wissen, über welchem Körper deine Matrizen definiert sind. Wenn du das nicht weißt, ist die vierte Aussage nicht allgemein gültig. Sie gilt nicht für Körper, in denen n=0 ist. Aus den Eigenschaften der Spur können wir nur schließen, dass Sp(AB-BA)=0 und Sp(I)=n ist.

21.03.2017, 14:49

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja als $\begin{eqnarray*} M(K) \end{eqnarray*}$ ist es definiert. Ich denke mal wenn 0 inbegriffen wäre hätte es dagestanden und gehe davon aus dass es so richtig ist.

21.03.2017, 18:38

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau auf das $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ kommt es in $\begin{eqnarray*} M_{n,n}(K) \end{eqnarray*}$ an.
Für $\begin{eqnarray*} n\ne 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ gibt es, wie wir bewiesen haben, keine Matrizen mit $\begin{eqnarray*} AB-BA=I_n \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ gibt es, wie ich weiß, Matrizen mit $\begin{eqnarray*} AB-BA=I_n \end{eqnarray*}$ .

21.03.2017, 20:01

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da es aber nicht definiert ist dass $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ existiert gehe ich mal von ersterem aus.

21.03.2017, 22:27

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst nicht davon ausgehen, aber du kannst voraussetzen, dass n ungleich 0 ist. Dann stimmt die Aussage. Für Körper der Charakteristik n stimmt sie nicht. (Das nennt man eine Fallunterscheidung.)

22.03.2017, 09:00

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Matrix hast du denn gefunden mit $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ ?

Aber die Spur der Einheitsmatrix besteht doch immer aus 1en wie kann dann $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$ sein?

22.03.2017, 09:26

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Elvis hat leider $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ einmal als Matrixgröße in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und einmal als abstraktes Element in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ aufgefasst. Das wird dich irritiert haben. Vielleicht eine Frage: Kennst du andere Körper als $\begin{eqnarray*} \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C \end{eqnarray*}$ ? Wenn $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ nur einen von den 3 meint, dann stimmt die Aussage, und man hat es bloss nicht explizit in der Aufgabe vermerkt.

Es gibt noch andere Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , in denen $\begin{eqnarray*} 1_K + 1_K = 0_K \end{eqnarray*}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray*} 0_K, 1_K \in K \end{eqnarray*}$ das additive neutrale bzw. das multiplikative neutrale Element ist. Man kann auch Matrizen über solchen Körpern betrachten. Und dort hat Elvis ein Gegenbeispiel gefunden.

22.03.2017, 09:40

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso...Ja $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ wurde mal kurz angeschnitten. Aber ich hab jetzt geschrieben für $\begin{eqnarray*} n \neq 0 \end{eqnarray*}$ also sollte es passen.

Welche Matrix wäre es dann die dem Beweis widerspricht?

22.03.2017, 09:53

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst versuchen es selbst zu finden. Elvis hat schon gesagt, dass es mit $\begin{eqnarray*} n = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K = \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ Matrizen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} AB - BA = I_2 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ nur 2 Elemente, naemlich 0 und 1 hat, gibt es nur 16 Matrizen in $\begin{eqnarray*} M_2(K) \end{eqnarray*}$ . Also gibt es nur $\begin{eqnarray*} 256 \end{eqnarray*}$ moegliche Kombinationen von $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ -- eine davon ist es Big Laugh

Big Laugh

Es wuerde sich aber sicher anbieten mal $\begin{eqnarray*} AB- BA \end{eqnarray*}$ mit abstrakten Eintraegen auszurechnen, damit man eine Idee bekommt wie die Eintraege auszusehen haben.

22.03.2017, 11:47

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Es wuerde sich aber sicher anbieten mal $\begin{eqnarray*} AB- BA \end{eqnarray*}$ mit abstrakten Eintraegen auszurechnen, damit man eine Idee bekommt wie die Eintraege auszusehen haben.

Genau so habe ich es gemacht, und bin dadurch ziemlich schnell auf eine Lösung gekommen. Ich werde kein Beispiel aufschreiben, das bleibt (top secret) mein geistiges Eigentum. Tanzen

Tanzen

@Top-SecreT
Versuch's mal selbst, das ist eine leichte, schöne und nützliche Übungsaufgabe. Du brauchst dafür weder Pünktchen noch Summen.

22.03.2017, 13:22

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider weiß ich nicht wie sich diese Matrizen dann bei der Subtraktion von $\begin{eqnarray*} AB - BA \end{eqnarray*}$ verhalten.
Also ich weiß ja dass 1+1=0 ist aber bei der Subtraktion? Was ist denn 1-1? Auch 0?

22.03.2017, 14:26

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

ja

22.03.2017, 15:13

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Seien
$\begin{eqnarray*} <br /> A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \in M_{22}(\mathbb F_2)<br /> \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} <br /> AB = \begin{pmatrix}1+1 & 0+1 \\ 1+1 & 0+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}<br /> BA = \begin{pmatrix}1+0 & 1+0 \\ 1+1 & 1+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} <br /> AB - BA = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I_2<br /> \end{eqnarray*}$

22.03.2017, 17:48

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, super gemacht. Und dieses ist eines der unendlich vielen Gegenbeispiele für die Aussage 4. der Aufgabe, weil AB-BA=I und 0=Sp(AB-BA)=Sp(I)=2. Es widerspricht aber nicht der Aussage 3. der Aufgabe, denn Sp(AB)=Sp(BA)=1 . Die Aussage Sp(AB)=Sp(BA) haben wir ja auch in voller Allgemeinheit bewiesen, also kann es dafür kein Gegenbeispiel geben. Die mathematische Welt ist in Ordnung, und du hast dir eine Musterlösung erarbeitet. Freude

Freude

22.03.2017, 19:03

Top-SecreT

Auf diesen Beitrag antworten »

Schön. Freut mich dass ich nun hoffentlich etwas mehr Durchblick habe als vorher.
Danke für die Unterstützung.

« vorherige Seite 12

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »