Aussagen beweisen: Spur von Matrizen

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Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »
Aussagen beweisen: Spur von Matrizen
Meine nächste Aufgabe würde ich gerne wieder absegnen lassen da ich noch sehr unsicher bin mit den mathematischen Beweisen.

Die erste Aussage ist
Für alle gilt

Jetzt frage ich mich ob ich hier einfach



definieren kann oder ob es allgemeiner sein muss weil ja auch eine 100x100 Matrix sein kann?


LG
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aussagen beweisen: Spur von Matrizen
Zitat:
Original von Top-SecreT
Jetzt frage ich mich ob ich hier einfach



definieren kann

Natürlich nicht, und die Begründung hast du ja auch selber gegeben.
 
 
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Hm mir fällt nicht ein wie ich es sonst beweisen könnte.

Vielleicht etwas in der Art



ist ja dasselbe wie



Aber das ist ja kein Beweis
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso nicht? Wenn man das noch formal sauber zusammenbringt, paßt es:

smile
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ok das klingt ja doch einfacher als gedacht. Dankeschön.

Dann sind da noch die Aussagen
2. Für alle und alle gilt

Beweis:



3. Für alle gilt

Hier habe ich nicht wirklich eine Idee wie ich die Multiplikation der Matrizen allgemein abbilden kann für

4. Es gibt keine quadratischen Matrizen , für die gilt.

Und hierzu brauche ich wahrscheinlich den Ansatz von 3.


Hat jemand einen Tip?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 4 ergibt sich leicht aus Aufgabe 3. Bei dieser wiederum ist wohl Fleißarbeit gefragt, indem du mal aufschreibst, wie sich das Diagonalelement des Matrixprodukts A*B errechnet.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »



Also würde sich ergeben aus

Ist das so richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Hm. In meinem Weltbild müßtes es doch wohl eher so sein:



Das Diagonalelement ist also

Für die Spur(A*B) mußt du davon noch die Summe über den Index i bilden.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Die Matrix ist doch die selbe nur mit i = n oder überseh ich was? Ist das nicht egal welchen Buchstaben man nimmt da es nur eine Zählvariable ist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eben das Problem mit der "Pünktchen-Schreibweise".

Wenn du schreibst, dann stehen da i Summanden. Was du aber brauchst, ist eine Summe, die aus n Summanden besteht.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Ach du meinst weil mit angegeben ist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Auf was sollte ich mich sonst beziehen?
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Das Diagonalelement ist also



Ich verstehe jetzt warum ich nicht verwenden kann da es ja der Index ist aber ich verstehe leider nicht wie du jetzt auf gekommen bist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

, dann wird wohl sein.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

das hilft mir ja irgendwie bei der 3. Aussage nicht weiter wo ich beweisen soll dass ist. Da muss ich ja zeigen wie genau ich auf komme
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das hilft. C=AB hast du schon berechnet, berechne Sp(C). Berechne D=BA, berechne Sp(D). Siehe, sie sind gleich.
Tipp: Mache keine Pünktchen , rechne mit Summen , dannn wird alles viel einfacher, besser und verständlicher.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Elvis du sagst ich soll keine Punkte machen sondern lieber mit Summen arbeiten. Muss ich nicht aber zeigen wie ich die Matrizen multipliziere damit der Beweis nachvollziehbar ist?



Ist das richtig? Ich hab keine Ahnung wie ich das anders darstellen kann unglücklich

Und für kann ich ja und einfach vertauschen und dann wäre es doch der Beweis oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

"einfach vertauschen" geht gar nicht, das wird ganz schön kompliziert, und in dieser Schreibweise unlesbar. Ich zeige dir jetzt mal, wie schön bequem das mit Summen wird, und du musst den Beweis dann fertig machen.



Bitte nicht irgend etwas wahllos und unbegründet "einfach vertauschen", sondern für jedes Gleichheitszeichen eine gute Begründung formulieren - sonst ist das kein Beweis, sondern immer wieder nur eine Wiederholung der Behauptung.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis



Was bedeutet dieses Konstrukt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine Matrix, bei der die Zeilenindices i und Spaltenindices j von 1 bis n laufen.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss doch aber auch ohne diese Ausdrucksweise gehen denn sowas hatten wir (noch) nicht dran. Also muss es doch irgendwie einfacher gehen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es geht anders, nämlich so, wie du es angefangen hast. Das ist aber nicht einfacher, sondern schwieriger, weil die Formeln länger werden. Mach mal, dann wirst du es sehen.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Mag sein dass es länger ist aber ist für mich irgendwie einfacher zu verstehen zumal ich auch nicht weiß was bedeutet.

Also ich würde den Beweis vielleicht so schreiben:
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist wirklich das was Elvis geschrieben. So ist


Man kommt aber ohne Punkte aus, und jeder Term ist wohldefiniert. Punkte haben den Nachteil, dass sie nicht eindeutig sind. So . Ist das kurz für , weil man die ungeraden Zahlen zwischen 3 und 17 will, oder kurz fuer , weil man die Primzahlen zwischen 3 und 17 wollte? Deswegen sollte man die Notation generell meiden.

Das Matrixprodukt ist laut der obigen Schreibweise definiert durch , wobei die Zahlen gegeben sind durch . So ist das Produkt definiert. Du kannst gerne nachprüfen, dass es das gleiche ist wie du nachrechnest.

Nun ist definiert. Wir haben gerade gesehen, dass und damit . Das eingesetzt .

Ersetzt man alle Summen durch die Puenktchen-Schreibweise, siehst du dass es genau die Terme sind die auch bei dir auftauchen. Mit dem Vorteil einer sehr kompakten Schreibweise, und ohne die Chance auf Missverstaendnis, wie ich oben mit den ungeraden vs. prim Beispiel andeuten wollte.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Top-SecreT
Was du gemacht hast, kann richtig sein, aber in dieser undeutlichen Schreibweise wird nicht klar, wie du die Summanden der Spur von BA umsortieren möchtest, damit die Spur von AB da steht. Du hoffst und vermutest, dass alle Summanden irgendwo wieder auftauchen, aber ein Beweis ist das für mich noch nicht.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das sehe ich ein. Dann werd ich mich noch mal intensiv mit eurer Schreibweise befassen damit ich da auch durchsteige. Vielen Dank erstmal.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für dein Verständnis. Unsere Summen-Schreibweise für Matrizenprodukt und Spur ist der Standard, der für eine saubere Definition und die Grundlegung der Theorie notwendig und üblich ist. Gewöhne dich schnell daran, denn nur so verstehst du Matrizen und lineare Algebra, nur so kannst du Beweise verstehen und selbst Beweise führen. Viel Erfolg. (Nebenbemerkung: der Beweis für sp(AB)=sp(BA) wird in der Summen-Schreibweise ein Einzeiler.)
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

ICH danke für eure Geduld Augenzwinkern

Ich bin sehr dankbar für die Hilfe hier. Ich habe das erste Mal das Gefühl vorwärts zu kommen Gott
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben unendlich viel Geduld, wenn es dir hilft. Versuche bitte einmal mit Pünktchen und einmal mit Summen zu beweisen oder zu widerlegen, dass auch die "Nebenspur" (Summe der Elemente der Nebendiagonale) multiplikativ ist. Versuche dasselbe mit der Determinante. Versuche alle 3 Aufgaben auch durch vollständige Induktion zu lösen.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das jetzt richtig verstehe ist die Schreibweise die Multiplikation von und richtig?

Und ist eine andere Schreibweise dafür?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das zweite mit der Klammer und den Laufgrenzen 1 bis n von Zeilenindex und Spaltenindex ist das Matrixprodukt AB. Man erkennt das an der Matrixklammer, in einer Matrix stehen Elemente, das sind Zahlen, diese Zahlen sind Summen von Produkten aus Elementen von A und B.
Das erste ist die Spur von AB, das ist keine Matrix, sonst würde da eine Matrixklammer stehen. Das ist eine (Doppel-)Summe aus bestimmten Matrixelementen von AB. Sie werden dadurch von beliebigen zu bestimmten Matrixelementen, dass nur über i und nicht über j summiert wird. Eine Summe von Zahlen ist eine Zahl, und genau das soll die Spur einer Matrix sein.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe. ist also wie eine for-Schleife in einer for-Schleife.

Also wäre der Beweis für 3.:

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein Volltreffer, besser geht's nicht. Freude Jetzt musst du nur noch begründen, warum die beiden Doppelsummen gleich sind.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgrund des Kommutativgesetzes. Reicht das?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Welches Kommutativgesetz ? Vertauschst du wieder einfach die Buchstaben a und b ? Nein, das reicht nicht.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Engel

Tjaaaa dann....weiß ich auch nicht verwirrt

Hat es was mit der Invertierbarkeit von Matrizen zu tun?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es ist so einfach, dass man erst mal darauf kommen muss. Es sind die Grundrechenarten in ganz gewöhnlichen Zahlen. Darauf kommt es an, das muss man sich klar machen. Lehrer

wegen der Kommutativität der Multiplikation im Körper

als nächstes vertauscht man in der Doppelsumme die Reihenfolge, das geht wegen der Assoziativität und Kommutativität der Addition im Körper


und dann kommt ein ganz eleganter Trick, es ist nämlich bei einer Summe völlig egal, wie man die Indices nennt (in einer "for x=1 to n" - Schleife ist doch auch völlig egal, welchen Namen die Laufvariable x hat), also kann man die Laufvariablen i und k vertauschen smile , und somit ist ist



und das und nichts anderes ist die Spur von

(Den letzten Trick kann man auch weglassen, da es ja nur auf die Form der Summation und nicht auf die Namen der Laufvariablen ankommt. Aber das muss man sich auch erst einmal klar machen.)
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ja kompliziert :o

Wenn man die Laufvariablen vertauschen kann, reichen die Schritte dann aus?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist kompliziert ? Die Grundrechenarten Addition und Multiplikation ? Augenzwinkern
Nein, eine Verkürzung der Argumentation reicht nicht aus. Dann vertauschst du im letzten Schritt nur die Laufvariablen bei den Summanden aber nicht bei den Summen. Das ist unmotiviert und falsch. Die Vertauschung der Additionsreihenfolge bei der Doppelsumme ist wesentlich (Rechenregeln). Der Laufvariablenvertauschungstrick ist unwesentlich (Nomenklatur).

und jetzt wissen wir auch, warum das so ist.
Top-SecreT Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich verstehe. Vielen Dank für die Aufklärung.

Und wie ergibt sich Aussage 4 jetzt aus Aussage 3? Erstaunt1
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