Kleinste Periode von cos^2(x) bestimmen

18.03.2017, 14:21

h4nk

Kleinste Periode von cos^2(x) bestimmen

Hallo, eine Frage zur Lösung der Aufgabe im Anhang.

Ich weiß zwar, dass ich die Periode T von cos(bx) mit T = 2*pi/2 errechnen kann, jedoch weiß ich nicht, wie ich im Fall der quadrierten Cosinusfunktion vorgehen soll.

Auch dass T = k*pi sein und die Bedinung f(x+T) = f(x) gelten muss. Für die Definition von cos^2 x aus dem Aufgabenbereich b) könnte ich mit obiger Methode die Periode T bestimmen (T = pi), aber ohne..

Vielen Dank schonmal!

18.03.2017, 14:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von h4nk
Für die Definition von cos^2 x aus dem Aufgabenbereich b)

Das ist keine Definition, sondern eine aus Additionstheoremen abgeleitete Eigenschaft der Kosinusquadrat-Funktion. Und sie ist der einfachste Weg auf Periode $\begin{align*} \pi \end{align*}$ zu kommen.

Ohne Nutzung von b) ist der Weg beschwerlicher:

Aus der Periodizität $\begin{align*} 2\pi \end{align*}$ der Kosinusfunktion ist zunächst nur klar, dass $\begin{align*} f(x)=g(\cos(x)) \end{align*}$ entweder konstant ist, oder periodisch mit der kleinsten Periode $\begin{align*} T=\frac{2\pi}{n} \end{align*}$ mit irgendeinem positiv ganzzahligen Teiler $\begin{align*} n \end{align*}$ . In deinem Fall musst du dann für $\begin{align*} g(t)=t^2 \end{align*}$ nachweisen, dass hier dann $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ ist, etwa dadurch, dass für $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ die Periodizität nachgewiesen und für $\begin{align*} n\geq 3 \end{align*}$ ausgeschlossen wird. Augenzwinkern

19.03.2017, 19:38

h4nk

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Sorry, für die späte Rückmeldung. Danke erstmal!

Ich denke, dass man b) nicht nutzen darf, da dort ja erst gefragt wird, ob dies die Lösung aus a) bestätigt. Auch wenn ich deinen Weg ohne b) nachvollziehen kann, wüsste ich überhaupt nicht, wie ich das für n >= 3 beweisen könnte.

Schließlich ist es ja zulässig z.b. n=4 anzunehmen, woraus sich einfach eine kleinere Periode von pi/2 ergibt. Ohne die Lösung vorher zu kennen, kann ich daraus ja keine weiteren Schlüsse dahingehend ziehen, dass dies mit der Periode von cos^2 x übereinstimmt.

19.03.2017, 20:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von h4nk
Auch wenn ich deinen Weg ohne b) nachvollziehen kann, wüsste ich überhaupt nicht, wie ich das für n >= 3 beweisen könnte.

Na z.B. direkt über die Funktionswerte: Es ist $\begin{align*} f(0)=\cos^2(0)=1 \end{align*}$ , bei Periode $\begin{align*} T \end{align*}$ muss also auch $\begin{align*} f(0+T)=f(T)=\cos^2(T)=1 \end{align*}$ gelten.

19.03.2017, 20:28

h4nk

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von h4nk
Auch wenn ich deinen Weg ohne b) nachvollziehen kann, wüsste ich überhaupt nicht, wie ich das für n >= 3 beweisen könnte.

Ah, stimmt. geschockt

Danke!

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