Zerlegung einer Menge

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fuat Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung einer Menge
Hallo,

Ich versuche eine Zerlegung der Menge {x aus rationalen Zahlen l x größer gleich als 0 } zu finden, die aus 2-elementigen Teilmengen besteht.

Ich weiß schon dass das eine Lösung ist.
[attach]44125[/attach]

Ich möchte wissen ob das was ich hier gemacht habe, auch eine Lösung darstellt.
Ich habe versucht die rationalen Zahlen als Vereinung disjunkter Intervallen herzustellen(Also meiner Meinung nach erfüllt es auch die Voraussetzungen einer Zerlegung, Teilmengen disjunkt und alle Teilmengen zusammen bringen die gesamte Menge zum Enstehen):

[attach]44126[/attach]

Ich wäre dankbar für Tipps.

Grüße
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Jedes Intervall positiver Länge enthält unendlich viele rationale Zahlen - was hat dann dein Vorschlag mit der Forderung nach zweielementigen Teilmengen zu tun? Erstaunt1

Irgendwie scheinst du also überhaupt nicht realisiert zu haben, wonach hier gefragt ist.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte hier nur nochmal was deutlich hervorheben:
Ein Intervall ist eine Menge. Es gilt
Somit ist deine Zerlegung eine Menge von Mengen. D.h. die Elemente von Z sind selber Mengen. Womit aber direkt folgt. Elemente in sind keine "Mengen" (auch wenn ich hier wohl mengentheoretisch gegen das Modell von Neumann [1] verstoße Big Laugh ), oder genaue: Keine Intervalle. Auch ist deine Notation ungenau bzw. i.A. undefiniert. (Welche Aussage sollen die runden Klammern haben?)

Auch stimme ich HAL da vollständig zu: Die Aufgabe verlangt eine Zerlegung in Mengen, die genau zwei Elemente enthalten. Ein (nichtleeres, halboffenes) Intervall über (auch wenn es auf eingeschränkt wird) beinhaltet überabzählbar viele Elemente (bzw. abzählbar viele, wenn man es auf einschränkt.)
Sagt dir das Konzept " ist dicht in " was? Falls ja, gehe nochmal die Folgerungen dazu durch, dann siehst du, dass in jeder (!) offenen Umgebung eines Elementes in mindestens eine rationale Zahl liegt.

Nun zu deiner Aussage: Sind wirklich alle Teilmengen disjunkt? Betrachte doch mal x=1 und als Folgeglied x=2. x=1 => {[1,2[, [2,3[}, x=2 => {[2,3[, [3,4[}, damit enthalten beide Mengen ein gleiches Element.

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCr...Crlichen_Zahlen
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein konstruktiver Hinweis: ist abzählbar. Man nehme eine beliebige Abzählung und hat mit eine von unendlich vielen Zerlegungen in disjunkte 2-elementige Teilmengen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie hat man bei einer "direkten" Angabe wie



aber ein besseres Gefühl, so zumindest mein Empfinden. Bei einer entsprechenden Zerlegung von sieht das allerdings nicht mehr so schön aus, weil man etwas mehr basteln muss. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich bei einer beliebigen Abzählung der positiven rationalen Zahlen zunächst an die standardmäßige Diagonalabzählung der Brüche denke, habe ich ein gutes Gefühl dabei. Und dann kann ich beliebig umordnen und zu Paaren zusammenfassen.
 
 
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
[...]beliebigen Abzählung der positiven rationalen Zahlen zunächst an die standardmäßige Diagonalabzählung der Brüche [...].


Vielleicht als gedankliche Hilfe für den TA:
Cantors erstes Diagonalargument
fuat Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, die Mengen sind nicht disjunkt.
Ich glaub dann soll man die Indexmenge als I=0,2,4,... definieren. Dann sollte die Menge disjunkt sein.

Soweit ich weiß, ist es so, solange eine Menge schließlich immer noch 2 Elemente hat, dann ist alles in Ordnung es geht nicht darum was die Elemente sind? Die Elemente können andere Mengen sein, Intervalle, alles ist möglich.

A={{}} (eine Menge, die nur die leere Menge enthält)
B={{1,2}} (eine Menge, die eine andere Menge als Element enthält)

Die Elementenanzahl beider Mengen(A und B) ist 1. Ist das nicht so?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fuat
Stimmt, die Mengen sind nicht disjunkt.
Ich glaub dann soll man die Indexmenge als I=0,2,4,... definieren. Dann sollte die Menge disjunkt sein.

Welche Mengen sind nicht disjunkt ?

Zitat:
Original von fuat
A={{}} (eine Menge, die nur die leere Menge enthält)
B={{1,2}} (eine Menge, die eine andere Menge als Element enthält)

Die Elementenanzahl beider Mengen(A und B) ist 1. Ist das nicht so?

Das ist so, aber was hat das mit dem Problem zu tun ?
fuat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Zitat:
Original von fuat
Stimmt, die Mengen sind nicht disjunkt.
Ich glaub dann soll man die Indexmenge als I=0,2,4,... definieren. Dann sollte die Menge disjunkt sein.

Welche Mengen sind nicht disjunkt ?

Also wenn ich die Indexmenge der Zerlegung so einstelle, dann sollte die 2-elementige Zerlegung disjunkt sein?

Zitat:
Original von fuat
A={{}} (eine Menge, die nur die leere Menge enthält)
B={{1,2}} (eine Menge, die eine andere Menge als Element enthält)

Die Elementenanzahl beider Mengen(A und B) ist 1. Ist das nicht so?

Das ist so, aber was hat das mit dem Problem zu tun ?


Ja, dann was ist der Unterschied wenn ein offenes Intervall ein Element ist? Die Zerlegung besteht aus der Vereinung von den 2-elementigen Teilmengen, und die Elemente dieser Teilmengen sind die Intervalle.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Intervall kann ein Element einer Menge sein, aber ein Intervall ist niemals ein Element der Menge der rationalen Zahlen.
fuat Auf diesen Beitrag antworten »

Warum? Weil es auch irrationale Zahlen enthält?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist egal, was ein Intervall enthält oder nicht enthält. Ein Intervall ist keine rationale Zahl.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fuat
Soweit ich weiß, ist es so, solange eine Menge schließlich immer noch 2 Elemente hat, dann ist alles in Ordnung es geht nicht darum was die Elemente sind? Die Elemente können andere Mengen sein, Intervalle, alles ist möglich.

Das siehst du falsch: Wenn von einer Zerlegung der hier zu betrachtenden Menge geredet wird, dann ist damit

mit paarweise disjunkten , d.h. für

gemeint, wobei irgendeine Indexmenge ist. Offenkundig müssen diese dann Teilmengen der Zielmenge sein, zusätzlich gefordert wird hier in der Aufgabe eben noch für alle .

Was du oben beabsichtigst sieht eher nach mit paarweise disjunkten Mengen , d.h., für sowie für alle , und du stellst überhaupt keine Forderungen hinsichtlich Mächtigkeit an die . Irgendwie arg weit entfernt vom ursprünglichen Zerlegungsproblem. Sieht ganz danach aus, als verwechselst du zweielementige Teilmengen vom (wie die ) mit zweielementigen Teilmengen der Potenzmenge von (wie deine ), da bist du irgendwie auf dem völlig falschen Dampfer gelandet...
fuat Auf diesen Beitrag antworten »

Achsoooo stimmt, ich habe den Begriff Teilmenge komplett verwechselt...
Jetzt habe ich es verstanden, danke für eure Hilfe...
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