Gegenbeispiel für Surjektivität von lin. Abb.

23.03.2017, 18:12	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenbeispiel für Surjektivität von lin. Abb. Hallo! Ich muss zeigen, dass folgende lin. Abb. nicht surjektiv ist: $\begin{eqnarray} \varphi_{A} : M_{n}(K) \rightarrow M_{n}(K) , \ B \mapsto AB-BA \end{eqnarray}$ Die Nicht-Injektivität ist schon bewiesen. Ich hatte die Idee, dass in der Zielmenge die Einheitsmatrix fehlt, da durch Einsetzen der Inversen von A oder B 0 rauskommt, aber beweisen konnte ich das nicht. Danke schonmal (:
23.03.2017, 18:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ invertierbar ist, weiß man nicht. Aufgrund der Spurformel $\begin{eqnarray} Sp(AB-BA)=0 \end{eqnarray}$ (siehe hier : Aussagen beweisen: Spur von Matrizen) kann $\begin{eqnarray} \varphi_A \end{eqnarray}$ nicht surjektiv sein. Wir haben dort auch gezeigt, dass es durchaus vorkommen kann, dass die Einheitsmatrix im Bild liegt.
23.03.2017, 18:57	Nomeal	Auf diesen Beitrag antworten »
Von einer "Spur von Matritzen" habe ich noch nie etwas gehört, heißt es muss auch irgendwie anders lösbar sein?
23.03.2017, 19:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dafür mangelt es mir an Fähigkeiten, z.B. an Geduld. Wie (und warum) soll man interessante Aussagen ohne Theorie beweisen ?
24.03.2017, 10:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinweis: Falls $\begin{eqnarray} \varphi_A \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung ist, ist sie nicht surjektiv. Grund: Sujektiv, injektiv und bijektiv sind bei linearen Abbildungen endlichdimensionaler Vektorräume gleichbedeutend. Nicht-injektiv hast du ja schon bewiesen.

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