Konvergenz von Folgen

23.03.2017, 19:43

Sawell

Konvergenz von Folgen

Meine Frage:
Moin,
ich bin grade dabei Übungsaufgaben zu bearbeiten und komme bei einer Frage einfach nicht weiter.

Es seien $\begin{eqnarray*} (x_{n}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y_{n}) \end{eqnarray*}$ Folgen in R so, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ Dann ist $\begin{eqnarray*} (x_{n})*(y_{n}) \end{eqnarray*}$ konvergent, und es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x_{n}*y_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Nach der Musterlösung ist diese Aussage nicht wahr.
Ich seh jedoch nicht, was an der Aussage falsch sein soll.

Meine einzige Idee ist, dass ich bei der Aussage $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x_{n}*y_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ die Null nicht als Null sondern als eine Zahl die sich Null annähert betrachten muss. Dann würde der Limes ja gegen 1 gehen, wenn der Limes von y gegen unendlich geht und somit wäre die Aussage insgesamt falsch.
Da mir die Erklärung aber nicht so richtig gefällt wollte ich hier lieber nochmal nachfragen.

23.03.2017, 20:28

HAL 9000

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Es gibt wirklich überhaupt keine Forderung (Voraussetzung) an Folge $\begin{align*} (y_n) \end{align*}$ ? Dann ist natürlich die Behauptung grober Unfug, man betrachte etwa das Beispiel $\begin{align*} x_n=\frac{1}{n}, y_n=n \end{align*}$ .

23.03.2017, 20:54

Sawell135

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Hahaha oh Mann. Dachte ich mir doch, dass es dafür eine einfache Erklärung geben muss.

Danke!

Willkommen im Matheboard!
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Viele Grüße
Steffen

24.03.2017, 08:12

klarsoweit

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RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von Sawell
Es seien $\begin{eqnarray*} (x_{n}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y_{n}) \end{eqnarray*}$ Folgen in R so, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Gemeint ist natürlich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n = 0 \end{eqnarray*}$ .
Übrigens: wenn man voraussetzt, daß die Folge (y_n) beschränkt ist, ändert sich die ganze Lage. smile

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