Erwartungswert stetig und diskret

24.03.2017, 17:59

forbin

Erwartungswert stetig und diskret

Hallo,

ich wiederhole gerade den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X und bin auf folgende Frage gestoßen:
Nehmen wir einen fairen Würfel X. Der Erwartungswert ist dann $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X) = \sum\limits_{i=1}^{6}j\cdot\mathbb P(X=i) = \frac{1}{6}\sum\limits_{j=1}^{6}j = 3,5 \end{eqnarray*}$ .

Wie sieht das im stetigen Fall aus?

Sagen wir also, X sei nun stetig gleichverteilt auf [1,6].
Stimmt dann folgende Rechnung?

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X) = \int\limits_{1}^{6}x\cdot f(x)dx = \int\limits_{1}^{6}x\cdot \frac{1}{6-1}dx = \frac{1}{5} [\frac{1}{2}x^{2}]_{1}^{6} = 3,5 \end{eqnarray*}$ ?

24.03.2017, 18:04

SHigh

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RE: Erwartungswert stetig und diskret
Die Rechnung stimmen fast. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X) = \int\limits_\mathbb R x\cdot f(x)dx = \int\limits_{1}^{6}x\cdot \frac{1}{6-1}\chi_{[1,6]}(x)dx = \frac{1}{5} [\frac{1}{2}x^{2}]_{1}^{6} = 3,5, \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ die Indikatorfunktion ist.

24.03.2017, 18:06

SHigh

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RE: Erwartungswert stetig und diskret
Entschuldige, richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \mathbb E(X) = \int\limits_\mathbb R x\cdot f(x)dx = \int\limits_\mathbb Rx\cdot \frac{1}{6-1}\chi_{[1,6]}(x)dx = \frac{1}{5} [\frac{1}{2}x^{2}]_{1}^{6} = 3,5, \end{eqnarray*}$

24.03.2017, 18:16

forbin

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Verstehe, der Fehler lag also nur in der Schreibweise?
Beziehungsweise auch so möglich:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\mathbb R}x\cdot f(x)dx\chi_{[1,6]} = \int\limits_{1}^{6}x\cdot f(x)dx = ... \end{eqnarray*}$

?

24.03.2017, 18:37

Dopap

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das geht in Ordnung wenn

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \tfrac 15 & 1 \leq x \leq 6 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$
gilt

24.03.2017, 19:17

SHigh

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Zitat:

Verstehe, der Fehler lag also nur in der Schreibweise? Beziehungsweise auch so möglich: $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\mathbb R}x\cdot f(x)dx\chi_{[1,6]} = \int\limits_{1}^{6}x\cdot f(x)dx = ... \end{eqnarray*}$

Nein, ist es nicht. $\begin{eqnarray*} \chi_{[1,6]}(x) \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion, die von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Abhängt. Deshalb muss sie im Integral stehen. Selbst wenn

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \tfrac 15 & 1 \leq x \leq 6 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

gilt, änder das nichts. Dann macht die linke Seite deiner Gleichung schlicht kein Sinn.

24.03.2017, 21:55

forbin

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Hm, eine auf [1,6] gleichverteilte ZV hat doch die Dichte

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}\frac{1}{5}, x\in[1,6] \\ 0 , \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,
wie Dopap schon sagte. Oder?

25.03.2017, 09:25

SHigh

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Ich habe nichts anderes behauptet. Alles was ich sage ist, dass der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\mathbb R}x\cdot f(x)dx\chi_{[1,6]} \end{eqnarray*}$

keinen Sinn macht. Bei der Indikatorfunktion fehlt das Argument.

25.03.2017, 11:33

forbin

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Achso!

Danke

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