Beweis - Mengenlehre - Unabhängigkeit

24.03.2017, 20:20	Gowri	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis - Mengenlehre - Unabhängigkeit Hallo Zusammen Ich soll die folgende Aufgabe lösen: Es seien A, B und C Ereignisse. Zeige: Wenn A und B unabhängig sind, dann auch A und $\begin{eqnarray} B^c \end{eqnarray}$ Ich weiss, dass beispielsweise $\begin{eqnarray} P(A)P(B) = P(A\cap B) \end{eqnarray}$ für die Unabhängigkeit gilt. Kann ich daraus einfach folgern, dass $\begin{eqnarray} AB= A \cap B \end{eqnarray}$ ist? Und ich weiss, dass ich $\begin{eqnarray} B^c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1- B \end{eqnarray}$ ersetzen kann. Zurzeit befinde ich mich irgendwie in einer Sackgasse. Ich habe bis jetzt mal zum ausprobieren mit dem angefangen: $\begin{eqnarray} P(A\cap B) = P(A)P(B) = P(A)(1-P(B^c))= P(A)-P(A)(P(B^c)) = P(A)-P(A\cap B^c) = P(A)-P(A/B)=P(A)-P(A)+(P(A\cap B)=P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ Aber wie zeige ich nun hier, dass das Komplement von B auch unabhängig zu A ist?
25.03.2017, 08:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} AB=A\cap B, B^c=1-B \end{eqnarray}$ ist nicht sinnvoll, da bringst du Wahrscheinlichkeiten und Mengen durcheinander. In deinem Beweisversuch steckt die Behauptung drin, denn du schreibst $\begin{eqnarray} p(A)p(B^c)=p(A\cap B^c) \end{eqnarray}$ . So geht das nicht. Wozu ist das Ereignis C in der Aufgabe gut ?
25.03.2017, 11:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Der direkte Beweis wird sehr einfach, wenn man sich ein Venn-Diagramm der beiden Mengen A und B zeichnet.
25.03.2017, 20:30	Gowri	Auf diesen Beitrag antworten »
Oke, danke ich versuchs noch einmal! Und das "C" ist für die Aufgabe b.) bestimmt und ist nicht relevant für diese Aufgabe...hab ich vergessen zu sagen.
25.03.2017, 21:06	Gowri	Auf diesen Beitrag antworten »
ZZ. A,B unabhängig <=> A und B^c uabhängig Für A und B unabhängig gilt (): $\begin{eqnarray} P(A)P(B) = P(A\cap B) \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} P(A\cap B^c)= P(A) - P(A\cap B)... \end{eqnarray}$ (nach Voraussetzung() gilt) $\begin{eqnarray} ...= P(A)-P(A)P(B)=(1-P(B))P(A)=P(B^c)P(A) \end{eqnarray}$ qed. kann das sein?
25.03.2017, 21:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast perfekt. Ich habe p(A)-p(A)p(B)=p(A)(1-p(B)) geschrieben. Ich weiß, dass die Multiplikation kommutativ ist, aber ich vertausche Faktoren nur dann, wenn es einen guten Grund dafür gibt. In der Algebra habe ich es oft mit nichtkommutativen Strukturen zu tun, da wird man vorsichtig.
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25.03.2017, 21:46	Gowri	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Danke

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