Nichtdegenerierte Kritische Punkte

25.03.2017, 12:27	Kaidan	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichtdegenerierte Kritische Punkte Meine Frage: Hallo zusammen, ich versuche folgende Aussage zu beweisen: Beweisen Sie, dass jeder nicht degenerierte kritische Punkt von f eine Umgebung hat, die keine weiteren kritischen Punkte enthält. Meine Ideen: Ich dachte mir ich gehe hier einfach mal über die Definition der Ableitung: $\begin{eqnarray} f'(x)=f'(x_0) + H(x_0) + \varepsilon_{f'} \end{eqnarray}$ , wobei hier $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ein kritischer Punkt wäre, der aber nicht degeneriert ist. Wir wissen somit direkt auch, dass $\begin{eqnarray} f'(x_0)=0 \end{eqnarray}$ . Angenommen $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ so müsste dann gelten $\begin{eqnarray} 0=H(x_0)+\varepsilon_{f'} \end{eqnarray}$ . Ich sehe aber leider nicht wie man hier jetzt aber weitermachen könnte um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen. Gruss Kaidan
26.03.2017, 09:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nichtdegenerierte Kritische Punkte Das ist nicht die Definition der Ableitung. Der zweite Summand muss $\begin{eqnarray} H(x_0)(x - x_0) \end{eqnarray}$ lauten. Ausserdem muss $\begin{eqnarray} \epsilon_{f'} \end{eqnarray}$ einen Abfall besitzen. Die Idee ist dann einfach in deinem Widerspruchbeweis $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ zu invertieren und zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ nicht schnell genug abfaellt.
26.03.2017, 12:03	Kaidan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für den Tipp. Dann habe ich wohl noch etwas nicht wirklich verstanden bzgl. der Definition... Könntest du echt ausführen wieso genau dort noch ein $\begin{eqnarray} x-x_0 \end{eqnarray}$ stehen muss? Danach sollte man wohl folgendes machen: $\begin{eqnarray} H(x)(x-x_0)+\epsilon_{f'}=0 \Leftrightarrow (x-x_0)=H^{-1}(x)\cdot\epsilon_{f'} \Rightarrow 1 > \\|H^{-1}(x)\\| \cdot \Big\\|\frac{\epsilon_{f'}}{x-x_0}\Big\\| \end{eqnarray}$ weil nach Def. das Restglied dividiert durch $\begin{eqnarray} x-x_0 \end{eqnarray}$ nach Null strebt wenn $\begin{eqnarray} x_0\to x \end{eqnarray}$ geht. Hoffe das funktioniert so, wäre aber auf jeden Fall dankbar wenn du noch kurz erklären könntest von wo das $\begin{eqnarray} (x-x_0) \end{eqnarray}$ herkommt. Gruss Kaidan
26.03.2017, 12:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dort muss $\begin{eqnarray} H(x_0) \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} H(x) \end{eqnarray}$ stehen. Es ist wichtig, dass die Matrix nicht von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ abhaengt. Ausserdem teilst du gerade durch einen Vektor. Du musst also etwas vorsichtiger arbeiten. Aber die Idee stimmt. Und das $\begin{eqnarray} x - x_0 \end{eqnarray}$ ist einfach Teil der Definition. In 1D ist es auch $\begin{eqnarray} f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac { f(x) - (x_0) } { x - x_0} \end{eqnarray}$ . Demnach definiert man $\begin{eqnarray} \epsilon_{f} := (x_0 - x) \cdot (f'(x_0)- \frac { f(x) - (x_0) } { x - x_0}) \end{eqnarray}$ und nun kann man nachrechnen, dass $\begin{eqnarray} f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \epsilon_f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon_f \end{eqnarray}$ schnell gegen 0 konvergiert.
26.03.2017, 15:56	Kaidan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Ausführungen! Das mit der Definition ist auf jeden Fall klarer geworden. Was ich mich jetzt aber frage ist wieso man genau über die Umkehrabb. gehen muss? Ich habe Mühe damit mir konkret etwas unter der Aussage $\begin{eqnarray} \\|H^{-1}(x_0)\\| \cdot \Big\\|\frac{\epsilon_{f'}}{x-x_0}\Big\\| < 1 \end{eqnarray}$ vorzustellen...
26.03.2017, 18:31	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss nicht ueber die Umkehrfunktion gehen. Was man braucht ist die Koerzivitaet, d.h. $\begin{eqnarray} \\|Ax\\| \geq c \\|x\\| \end{eqnarray}$ fuer eine Konstante $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ . Das braucht die Invertierbarkeit von A. Ansonsten gilt die Aussage nicht. Insbesondere ist $\begin{eqnarray} c \leq \frac { \\|H(x_0)(x-x_0)\\|}{\\|x - x_0\\|} = \frac { \epsilon_{f'}}{\\|x -x_0\\|} \end{eqnarray}$ . Damit kann die rechte Seite nicht gegen 0 konvergieren, was man ja fordert. Anschaulich ist es einfach in 1D: Eine Gerade y = mx +b hat fuer $\begin{eqnarray} m\neq 0 \end{eqnarray}$ (das ist hier nicht degeneriertheit) nur eine Nullstelle. Die Funktion f' ist in der Naehe von x_0 sehr nahe an dieser Geraden. Zu nah um einen Abstecher zu machen und eine Nullstelle zu erzeugen. Haette es eine Nullstelle, so waere sie nicht mehr nahe genug daran, damit die Gerade den Namen Tangente verdient -- in Formeln das epsilon verschwindet wie oben nicht schnell genug.
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