Das Urbild einer surjektiven Abbildung ist eine gerade

26.03.2017, 13:15	Clear89	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Urbild einer surjektiven Abbildung ist eine gerade Meine Frage: Hallo, wir hatten diese Aufgabe in einer Klausur in Lineare Algebra. Leider wurden keine Lösungen veröffentlicht. Die Aufgabe lautet: Es sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^{m+1} -> \mathbb R^{m} \end{eqnarray}$ eine surjektive lineare Abbildung. Zeigen Sie: Für alle $\begin{eqnarray} y\in \mathbb R^{m} \end{eqnarray}$ ist das Urbild $\begin{eqnarray} f^{-1} ({y}) = {x\in \mathbb R^{m+1}; f(x)=y} \end{eqnarray}$ eine Gerade in $\begin{eqnarray} \mathbb R^{m+1} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Leider wissen meine Kommilitonen und ich nicht, wie wir diese Aufgabe am besten lösen können. eine Gerade hat bestimmte Bedingungen, aber wir wissen nicht, wie man von dem Urbild darauf kommen könnte, dass es eine Gerade ist. Ich hoffe es kann uns jemand helfen Liebe Grüße
26.03.2017, 13:45	JJAction	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass Fasern unter linearen Abbildungen affine Räume sind, ist doch sicher bekannt. Da f surjektiv ist, ist der Kern eindimensional.
26.03.2017, 13:48	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus der Dimensionsformel folgt, dass $\begin{align} \ker f \end{align}$ eindimensional ist. Also gibt es $\begin{align} x\in\mathbb R^{n+1} \end{align}$ mit $\begin{align} \ker f = \mathbb Rx \end{align}$ . Wenn du nun zu jedem $\begin{align} y\in \mathbb R^n \end{align}$ ein $\begin{align} a_y\in f^{-1}(y) \end{align}$ wählst, so lässt sich sehr elementar mit Mengeninklusionen zeigen, dass $\begin{align} f^{-1}(y) = a_y+\mathbb Rx \end{align}$ .
26.03.2017, 14:09	Clear89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, jetzt habe ich es verstanden, vielen Dank

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