Poissonverteilung

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Stochhastiklernender Auf diesen Beitrag antworten »
Poissonverteilung
Meine Frage:
Hallo,

ich verstehe nicht genau den unterschied zwischen einer Poissonverteilung und dem Poissoprozess nicht. Wir haben in unseren Folien den Poissonprozess als Grenzwert der Binomialverteilugn kennen gelernt.
(((lambda)^x)/x!) * e^(-lambda)

Das Lamba wurde als Rate interpretiert die normalerweise eine Einheit hat, weshalb zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit die Formel für den Poissonprozess genutzt werden muss. Diese Formel unterschiedet sich von der oberen dadurch, dass das lambda noch mit dem Problembezogen Größe (Zeit/ Länge) entdimensionalisiert wird. Also zum Beispiel bei 4 Fehler pro 1 Stunde müsste man z.B für eine Gewisse Zahl an Fehlern in 2 Stunden entweder lambda auf 8 verändert werden, sodass t=1 giltet oder mit lambda=4 gerechnet werden und für t=2 gesetzt werden. Was ich nicht verstehe ist worin genau der Unterschied dann zwischen der Poissonverteilung und dem Poissoprozess liegt. Außerdem wurde als Beispiel die Wahrscheinlichkeit für ein Geburtstag an Silvester berechnet bei einer Personen gruppe von 500 Menschen. Dabei wurde lampda = p*n berechnet. Mein Problem ist hierbei welche Einheit lambda dann in diesem Fall hätten.

Meine Ideen:
Meine Idee für den Unterschied wäre das die Poissonverteilung so wie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ein Maß für die Häufigkeit ist aber nicht direkt die Warscheinlichkeit abgelesen werden kann (z.B wie bei der der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von stetigen Realisationen)

Für das genannte Beispiel dachte ich, dass die Rate dann auf die Anzahl der Personen bezogen sein müsste. Das bedeutet, dass man zum Beispiel das lambda ebenso für eine Personengruppe von 2000 Leuten benutzen könnte, wenn man für t=4 einsetzt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du eine falsche Vorstellung von den Begriffen.

Zitat:
Original von Stochhastiklernender
Wir haben in unseren Folien den Poissonprozess als Grenzwert der Binomialverteilugn kennen gelernt.

Die Grenzverteilung von für bei parallelen ist die Poissonverteilung .

Der Poissonprozess ist hingegen ein zeitstetiger stochastischer Prozess, dessen Zuwächse allerdings poissonverteilt sind. Im Falle des homogenen Poissonprozesses ist der entsprechende Verteilungsparameter dieser Poissonverteilung proportional zur Länge des Zeitintervalls, in der dieser Zuwachs anfällt.
Stochhastiklernender Auf diesen Beitrag antworten »

okay erst einmal vielen Dank für die schnelle Antwort, das hört sich jetzt schlüssig an für mich. Das bedeutet die Formulierung die bei uns genutzt wurde ist so nicht ganz eindeutig. "Die Poisson Verteilung gibt die Verteilung von x als Funktin des Parameters lambda an. Um jedoch die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines speziellen Wertes der Zufallsgröße X, also X=x, zu berechnen, muss die Formel für den Poisson Prozess verwendet werden. "

Man nutzt also eigentlich die Poisson Verteilung zur Approximatin der Binomialverteilunng, wobei eine hohe Stichprobenen zahl mit geringer Eintrittswahrscheinlichkeit vorliegen muss.
Den Poisson Prozess für Prozesse deren Veränderung durch das lambda beschrieben werden.
Stochhastiklernender Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich habe noch eine Frage zu der Grafik auf der Wikipediaseite. Die Sprunghöhe bleibt dabei ja immer konstant nur die Anzahl der Sprünge verändert sich, wobei dies ja dann durch die Poissonverteilung bestimmt wird (also ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für 9 Sprüne geringer wie für 3 --> wegen der Intensität, oder?).
Wäre es auch möglich, dass sozusagen zwei Sprünge auf einmal geschehen also gleichzeitig. Und wenn nein, könnte man das dann durch die Binomialverteilung erklären mit der Begründung, dass man den Prozess in so kleine Segmente einteillt, dass gewährleistet ist, dass maximal ein Ereignis pro Segement stattfindet (also n gegen unendlich gehen muss) wodurch man dann die Formel für die Poissonverteilung erhalten hat?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stochhastiklernender
Die Sprunghöhe bleibt dabei ja immer konstant

Die Sprunghöhe ist immer gleich 1, allerdings ist die Intervalllänge zwischen zwei aufeinander folgenden Sprüngen zufällig - konkret: Sie ist exponentialverteilt.
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