Stochastik: Arbeitsweg berechnen

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H-net Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastik: Arbeitsweg berechnen
Meine Frage:
ein pendler muss täglich auf seinem arbeitsweg tram und bus benutzen.
die durch die tram T verursachte verspätung beträgt zwischen 0 und 10 minuten(stetig gleichverteilt) wärend der bus sogar bis zu 20 minuten verspätung haben kann(stetig gleich verteilt)
a) wie groß ist die warscheinlichkeit dass sich der pendler um höchstens 10 minuten verspätet. geben sie die R-Dichte in R² an
b) der pendler hat nun 10 minuten aufenthalt,falls sich die tram um mehr als 5 minuten verspätet. Wie groß ist für diesen Fall die Warscheinlichkeit dass er insgesammt unter 10 minuten verspätung hat. geben sie die R-dichte in R² an.


Meine Ideen:
a) die gemeinsame dichte:




dann warscheinlichkeit berechnen:

soweit ok

b) keine ahnung wie ich das machen soll(neue zufallsvariable A und dann Z+A bilden? wie wäre A da verteilt?) bitte um hilfe

vielen dank im vorraus
mfg
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast da ein sehr merkwürdiges (Nah-)Verkehrssystem, wo allem Anschein nach ständig, ununterbrochen Anschlusszüge/-busse verkehren. Anders kann ich mir nicht erklären, dass du einfach die Zeiten addierst. verwirrt

Normalerweise bei festem Fahrplan (bzw. Taktplan) ist es ja so, dass es keine Rolle spielt, wieviel sich das erste Verkehrsmittel verspätet, solange man noch das zweite Verkehrsmittel erwischt - andernfalls muss man ja auf den nächsten (Takt-)Zeitpunkt warten.
H-net Auf diesen Beitrag antworten »

ja... die aufgabenstellung ist unrealistisch... aber darum geht es ja nicht.

ich weis einfach nicht wie ich die wskt ausrechne, wenn noch ein fester aufenthalt abhängig von T dazu kommt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

a) ist in Ordnung.
Allerdings erfordert die Auswertung des Integrals Fallunterscheidungen. Diese sind einfacher zu durchschauen, wenn man beachtet, dass die gemeinsame Verteilung von und eine Gleichverteilung auf einem Rechteck mit den Seitenlängen 10 min und 20 min ist. Die Verteilungsfunktion von ergibt sich dann einfach über eine Flächenbetrachtung.

b) Mach doch einfach eine Fallunterscheidung. Für ist . Für ist . Dann ist

H-net Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal danke für die antwort:-)
du hast recht, bei der a hat man eine 3-fache fallunterscheidung. das bekomm ich soweit auch hin.

deine idee bei der b ist gut um die warscheinlichkeit aus zu rechnen, aber ich soll die dichte angeben (also klein f) warscheinlich dann mit weiteren fallunterscheidungen (in der originalaufgabe muss ich das auch noch zeichnen)

allerdings verstehe ich nicht wo der faktor 1/2 herkommt.
hätte jetzt mir deiner hilfe folgendes aufgestellt:

das könnte man nun vereinfachen zu

das problem ist dass dann

weil T nicht größer 5 und Z=0 (z=t+b) sein kann.

daraus würde dann folgen:

das macht auch sinn für die warscheinlichkeit, weil man ja nur noch unter 10 minuten zu spät kommen kann wenn die tram wehniger als 5 minuten zu spät ist(sonst wäre man ja gleich 15 zu spät).

aber das hilft mir für meine gesamtdichte nicht weiter :-(

noch ideen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von H-net
allerdings verstehe ich nicht wo der faktor 1/2 herkommt.

Der Faktor 1/2 ergibt sich daraus, dass die Bedingungen und jeweils die Wahrscheinlichkeit 1/2 haben. Betrachte die Sache als Baumdiagramm, bei denen jeder der beiden Zweige mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 auftritt.

Wenn du die Verteilungsfunktion hast, ergibt sich die Dichtefunktion doch einfach durch differenzieren.
 
 
H-net Auf diesen Beitrag antworten »

ok, wenn ich mit der formel von bayes arbeite


dann komme ich auf:






dann bekomme ich letztendlich:


wie soll ich dass bzw ausrechnen?
die formel gillt doch nur wenn A und B (in meinem fall Z bzw Y und T) nicht stochastisch abhängig wären.
in diesem fall SIND sie aber stochasitisch abhängig.

wie weitermachen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da inhaltlich Huggys Hinweisen wenig hinzuzufügen ist, gebe ich nur nochmal meiner Verwunderung über das seltsame Nahverkehrssystem hier Ausdruck, diesmal zu b):

Wenn die Tram weniger als 5 Minuten Verspätung hat, dann "wartet" der Anschlussbus und fährt unmittelbar ab, nachdem die Tram angekommen ist. Ok, kann man noch verstehen, ist vielleicht so geregelt, dass der Bus wartet.

Aber warum man bei mehr als 5 Minuten Verspätung konstant (!) 10 Minuten bis zum nächsten Bus wartet, leuchtet mir als Fahrplanmodell schon deutlich weniger ein: Dessen Abfahrtszeit ist also ohne erkenntlichen Grund derart an die stochastische Ankunftszeit der Tram gekoppelt? Ein denkbarer Grund wie "Umsteigezeit" fällt aus, denn die würde ja bei weniger als 5 Minuten Tramverspätung auch anfallen. Oder lässt man den Kunden 10 Minuten Zeit, sich über die Verspätung "zu beschweren" - klingt sehr sinnvoll, auf diese Weise die Verspätungszeit um 10 Minuten zu verlängern, die Kunden sind sicher begeistert. Big Laugh


EDIT: Obwohl richtig, wäre ich doch anders als Huggy nicht gleich zu bedingten Wahrscheinlichkeiten übergegangen, sondern bei "Schnitten" geblieben



Für wurde bereits festgestellt, dass für den zweiten Term

allein wegen

gilt, das trifft allgemeiner sogar auf alle zu. Der erste Summand ist nun einfach durch ein bei 5 "abgeschnittenes Faltungsintegral berechenbar:

.
H-net Auf diesen Beitrag antworten »

und nochmal...
das ist eine klausur-aufgabe... es bringt nicht viel auf die klausur zu schreiben dass die aufgabe nicht sinnvoll ist...

allerdings verstehe ich jetzt wie du auf mehr als 18k beiträge kommst ;-)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von H-net
allerdings verstehe ich jetzt wie du auf mehr als 18k beiträge kommst ;-)

Und so jemanden habe ich dann noch eine Hilfestellung zu b) (siehe EDIT) nachgeschoben. unglücklich

Und lies dir bitte mal einen signifikanten Teil meiner 18k Beiträge durch, bevor du wieder so einen Scheiß schreibst.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Um die bedingten Wahrscheinlichkeiten



und



zu bestimmen, brauchst du doch nur für eine Gleichverteilung auf dem Intervall bzw. anzusetzen. Dann kannst du bei deinem Weg die bedingten Dichten mit dem Faltungsintegral berechnen oder bei dem von mir bevorzugten Weg die bedingten Verteilungsfunktionen mit einer Flächenbetrachtung und danach die Dichten durch Ableiten.

Für bei b) brauchst du natürlich nur einen Teil des Verteilungs-/Dichteverlaufs. Aber ich habe dich so verstanden, dass du auch den gesamten Verlauf angeben und zeichnen sollst.
H-net Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL 9000: ich wollte dich nicht beleidigen, nur hat es mir aufgeregt sinnlosen kommentar zu lesen.
VIELEN DANK für deinen nachschub. das klingt wirklich total gut so. ich habe garnicht darann gedacht das so direkt zu schneiden. -> wskt ist so absulut ausrechenbar

die gesamtdichte (um sie zu zeichnen) erhalte ich, indem ich dann das von dir dann nach z ableite?





die faltung ist da doch sehr kompliziert, weil es doch relativ viele fallunterscheidungen geben müsste (indikatorfunktion geschnitten integralgrenzen für 2 funktionen)
da das ne klausuraufgabe ist, müsste es doch noch einen besseren weg geben um die r-dichte anzugeben?

aber auf jedenfall schonmal vielen vielen dank
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von H-net
@HAL 9000: ich wollte dich nicht beleidigen, nur hat es mir aufgeregt sinnlosen kommentar zu lesen.

Er war nicht sinnlos. Was ich nicht verstehe ist, warum du dich angegriffen fühlst - wenn, dann sollten das allenfalls die Aufgabenersteller tun. Es muss doch erlaubt sein, ein wenig über Sinn und Unsinn von Aufgabenstellungen zu reden.

Zitat:
Original von H-net

Dass ich oben statt geschrieben habe, war kein Schreibfehler: Ich meine damit nicht die Dichte, sondern tatsächlich die Verteilungsfunktion von .

Und zum zweiten Teilintegral: Das fällt nur an, wenn , deswegen kann man das so wie oben nicht stehen lassen. Richtig wäre z.B.

.
H-net Auf diesen Beitrag antworten »

ok... ich dachte es war ein schreibfehler.

dann verstehe ich die faltung nicht.
wird doch normal durch (faltung) in dichten repräsentiert.
warum nun hier falten mit
kannst du das erklären?

und müsste es dann nicht ein doppel-integral sein? hier der erste teil

das innere für die faltung um zu erhalten und das äußere dann für die aufsummierung der dichte für die T<5 bedingung? *verwirrt sei*
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von H-net
dann verstehe ich die faltung nicht.
wird doch normal durch (faltung) in dichten repräsentiert.
warum nun hier falten mit

Es gilt sowohl



als auch

.

(2) folgt aus (1) durch Differentiation nach . (1) ist allgemeiner, denn es kann auch für nichtstetige B angewandt werden.
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