Nur mit Richtungsvektor zur Geradegleichung (2 Ebenen schneiden)

28.03.2017, 13:19

Bambusmann

Nur mit Richtungsvektor zur Geradegleichung (2 Ebenen schneiden)

Meine Frage:
Moin!

Mal eine schnelle Frage: Ich bekomme ja durch das Kreuzprodukt der Normalenvektoren zweier Ebenen den Richtungsvektor der Schnittgeraden dieser heraus.

Kann ich nur mithilfe der Ebenengleichungen und diesem Richtungsvektor nun die Gleichung der Schnittgeraden aufstellen?

Meine Ideen:
Keine Idee bisher gehabt^^

28.03.2017, 14:41

moody_ds

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RE: Nur mit Richtungsvektor zur Geradegleichung (2 Ebenen schneiden)

Zitat:

Original von Bambusmann
Kann ich nur mithilfe der Ebenengleichungen und diesem Richtungsvektor nun die Gleichung der Schnittgeraden aufstellen?

Wie sieht denn die Gleichung für eine Schnittgerade aus? Denke da mal drüber nach und dann müsstest du dir die Frage schon fast selbst beantworten können.

Ist aber die Frage ob das Vorgehen Sinn macht, aus dem Stehgreif würde ich vermuten, dass du bei der Schnittpunktberechnung eigentlich im Prinzip auch direkt die Schnittgerade ohne Umweg bestimmen kannst.

28.03.2017, 15:08

Bambusmann

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Hmm naja im grunde fehlt mir ja noch der Stützvektor... Wobei ja theoretisch der Normalenvektor einen Punkt auf dieser Gerade hat. Also müsste ich ja nur den Schnittpunkt von Gerade und Normalenvektor noch berechnen und könnte den dann als Stützvektor nehmen , gell?

Oder denke ich gerade sowieso zu kompliziert und die Schnittgerade zu bestimmen geht anders einfacher? Big Laugh

28.03.2017, 15:46

Leopold

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Die Ebenen $\begin{align*} E,F \end{align*}$ mögen die Normalenvektoren $\begin{align*} \vec{u},\vec{v} \end{align*}$ besitzen. Weiter sei $\begin{align*} A \in E \end{align*}$ und $\begin{align*} B \in F \end{align*}$ mit den Ortsvektoren $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ . Die Ebenen besitzen daher die Gleichungen

$\begin{align*} E: \ \vec{u} \cdot \vec{x} = \vec{u} \cdot \vec{a} \end{align*}$

$\begin{align*} F: \ \vec{v} \cdot \vec{x} = \vec{v} \cdot \vec{b} \end{align*}$

besitzen. Der Malpunkt bezeichnet das Standardskalarprodukt, $\begin{align*} \vec{x} \end{align*}$ ist der Ortsvektor eines Ebenenpunktes $\begin{align*} X \end{align*}$ .

Wenn man voraussetzt, daß $\begin{align*} \vec{u}, \vec{v} \end{align*}$ nicht kollinear sind, die Ebenen also nicht parallel sind, dann ist, wie du bereits gesagt hast,

$\begin{align*} \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \end{align*}$

ein Richtungsvektor der Schnittgeraden $\begin{align*} g \end{align*}$ von $\begin{align*} E \end{align*}$ und $\begin{align*} F \end{align*}$ . Jetzt kann man eine weitere Gerade $\begin{align*} h \end{align*}$ bestimmen, die in $\begin{align*} E \end{align*}$ liegt und senkrecht auf $\begin{align*} g \end{align*}$ steht. Ein Richtungsvektor von $\begin{align*} h \end{align*}$ ist

$\begin{align*} \vec{r} = \vec{u} \times \vec{w} \end{align*}$

Als Stützvektor von $\begin{align*} h \end{align*}$ nehmen wir $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ . Damit hat $\begin{align*} h \end{align*}$ die Gleichung

$\begin{align*} h: \ \vec{x} = \vec{a} + \lambda \vec{r} \, , \ \ \lambda \in \mathbb{R} \end{align*}$

Die Gerade $\begin{align*} h \end{align*}$ schneidet die Ebene $\begin{align*} F \end{align*}$ in einem Punkt $\begin{align*} C \in g \end{align*}$ (zeichne dir eine Skizze). Für seinen Ortsvektor $\begin{align*} \vec{c} \end{align*}$ gilt daher

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ \vec{v} \cdot \vec{c} = \vec{v} \cdot \vec{b} \end{align*}$ , weil $\begin{align*} C \end{align*}$ in $\begin{align*} F \end{align*}$ liegt

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ \vec{c} = \vec{a} + \lambda \vec{r} \end{align*}$ , weil $\begin{align*} C \end{align*}$ auf $\begin{align*} h \end{align*}$ liegt

Jetzt setzt man $\begin{align*} \vec{c} \end{align*}$ aus $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ in $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ ein und kann so das gesuchte $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ bestimmen. Man berechnet

$\begin{align*} \lambda = \frac{\vec{v} \cdot \vec{b} - \vec{v} \cdot \vec{a}}{\vec{v} \cdot \vec{r}} \end{align*}$

Der gesuchte Vektor ist daher

$\begin{align*} \vec{c} = \vec{a} + \frac{\vec{v} \cdot \vec{b} - \vec{v} \cdot \vec{a}}{\vec{v} \cdot \vec{r}} \cdot \vec{r} \end{align*}$

Oder in den Originalgrößen:

$\begin{align*} \vec{c} = \vec{a} + \frac{\vec{v} \cdot \left( \vec{b} - \vec{a} \right)}{\vec{v} \cdot \left( \vec{u} \times \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \right)} \cdot \left( \vec{u} \times \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \right) \end{align*}$

Nun ja - das muß nicht jedem gefallen. Immerhin ist es eine formelmäßige Beschreibung eines Stützvektors der Schnittgeraden von $\begin{align*} E \end{align*}$ und $\begin{align*} F \end{align*}$ . Fürs praktische Rechnen in der Schule ist das nicht zu empfehlen. Anders sieht es aus, wenn man programmieren will. Dann könnte man so etwas sinnvoll verwenden.

Mit Hilfe der Grassmann-Identität kann man $\begin{align*} \vec{r} \end{align*}$ auch anders schreiben:

$\begin{align*} \vec{r} = \vec{u} \times \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{u} - \vec{u}^{\, 2} \cdot \vec{v} \end{align*}$

Vorsicht! Nur dem Kontext ist zu entnehmen, ob der Malpunkt das Skalarprodukt oder die skalare Multiplikation beschreibt.

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