Numerische Eigenwertbestimmung |
28.03.2017, 21:14 | AudiMarius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Numerische Eigenwertbestimmung Ich habe folgende Aufgabe: Gegeben sei die Matrix: (a) Zeigen Sie, dass die Matrix A nur reele Eigenwerte besitzt. (b) Geben Sie mit Hilfe des Kreissatzes von Gershgorin eine Menge an, in der die Eigenwerte von A enthalten sind. (c) Es soll der Eigenvektor zum kleinsten Eigenwert von A bestimmt werden. Geben Sie dazu ein geeignetes Verfahren an. Führen Sie ausgehend vom Startvektor einen Schritt dieses Verfahrens aus. (d) Benutzen Sie die Eigenvektornäherung aus Aufgabenteil (c), um eine Näherung für den zugehörigen Eigenwert anzugeben. Meine Ideen: Zu (a) Da gilt, sind alle Eigenwerte reell. Zu (b) Ich habe die zeilenweise bestimmt (was in dem Fall ja egal ist) und habe folgende bekomen: Wie bestimme ich nun die Menge? Zu (c) Im Skript habe ich nur eine Methode gefunden: Dort steht aber, dass hierbei sich der größte Eigenwert durchsetzt, was ja nicht der Aufgabe entspricht. Jedoch habe ich keine andere Vektoriteration im Skript gefunden. Zu (d) Da (d) auf (c) aufbaut habe ich noch keine Ansatz. Ich vermute aber, dass ich den Rayleighquotienten brauchen werde. Damit habe ich auch noch nichts gerechnet und bin nicht sicher, ob ich es hinbekomme. Habt ihr vorschläge, wie ich die Aufgabe (oder einzelne Teile) lösen kann? Viele Grüße AudiMoritz Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen |
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28.03.2017, 21:30 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Negative Radien??? Beträge vergessen! Und was ist wohl die Vereinigung ?
Allenfalls der betragsgrößte Eigenwert. Dann wende doch das Verfahren auf statt an, denn ... |
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28.03.2017, 22:23 | AudiMoritz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist wohl . Das war dann die Teilaufgabe?
Ok. Ich habe jetzt erstmal nicht die Inverse genommen. Müsste ich denn die Inverse hierfür nehmen? Aber im Prinzip habe ich dann nach einem Iterationsschritt Nun habe ich in den Rayleighquotienten mein x eingesetzt und R(x)=3 bekommen. Was sagt mir dies nun? Ich habe das Gefühl, dass ich den Rayleighquotienten falsch benutzt habe Danke für die Hilfe bislang |
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28.03.2017, 23:23 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du musst gar nichts, es war lediglich ein Vorschlag. Wenn du eine andere Idee hast, auf den betragskleinsten EW und zugehörigen EV zu kommen, dann nimm die. |
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29.03.2017, 11:40 | AudiMoritz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und ist die d richtig gelöst? mit dem Rayleighquotienten? Muss ich einfach mein x von der c dort einsetzen? Wie komme ich dann auf die Eienwerte? |
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30.03.2017, 17:24 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da gibt es nichts groß zu rechnen, im Verlauf der Iteration fällt das doch quasi nebenbei mit ab, zumindest was das Gros des Rechenaufwands betrifft: Bei Iteration (egal ob nun mit zum Finden des betragsgrößten Eigenwerts von , oder mit zum Finden des betragskleinsten Eigenwerts von ) ist doch der Rayleigh-Quotient berechenbar als , also zwei simple Skalarprodukte in Zähler und Nenner. Du kannst also ohne großen Zusatzaufwand (der Hauptaufwand ist ja die Multiplikation "Matrix * Vektor" in der eigentlichen Iteration ) parallel die Annäherung mit verfolgen. |
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