Bestimmen Sie alle Gruppen der Ordnung p bis auf Isomorphie.

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29.03.2017, 13:32	Jowi	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen Sie alle Gruppen der Ordnung p bis auf Isomorphie. Meine Frage: Guten Tag zusammen, ich bin neu hier in diesem Forum und hoffe jemand kann mir weiterhelfen: Sei p eine Primzahl. Bestimmen Sie alle Gruppen der Ordnung p bis auf Isomorphie. Meine Ideen: Mein erster Gedanke wäre die Restklasse $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ . Allerdings ist mir aufgefallen, dass dort ja nicht jedes Element ein Inverses besitzt (unzwar die 0 nicht bzgl. Multiplikation). Also müsste ich diese aus der Gruppe streichen. Dann hätte meine Gruppe (das wäre ja dann die Prime Restklassengruppe von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ) nur noch $\begin{eqnarray} p-1 \end{eqnarray}$ Elemente. Existiert dann eigentlich überhaupt eine Gruppe bzgl. Multipl.? Mit der Addition als Operation wäre $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ eine Gruppe: Assoz.: Gilt neutrl. Element wäre die $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ Inverses Element wäre $\begin{eqnarray} \forall a \in \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ auch gegeben und die Gruppe hat nur $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Elemente. Gibt es denn noch andere Gruppen? Außerdem verstehe ich nicht ganz den Teil der Fragestellung "bis auf Isomorphie". Ich suche doch nur Gruppen und ein Isomorphismus besteht doch zw. zwei algebraischen Strukturen, also z.B. zwischen zwei Gruppen, aber eine Gruppe selbst kann doch nicht Isomorph sein (außer zu sich selbst, aber das ist doch trivial). Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte LG Jowi
29.03.2017, 14:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (\mathbb Z/p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ ist eine additive Grupe der Ordnung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Nach dem Satz von Lagrange teilt die Ordnung einer Untergruppe die Ordnung der Gruppe, also bleiben für die Untergruppen hier nicht viele Möglichkeiten. Über Isomorphie musst du sicher noch ein wenig nachdenken, da scheint dein Wissen begrenzt zu sein.
29.03.2017, 17:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du über Isomorphie nachgedacht ? Ich habe, und ich lasse dich gerne an meinen Gedanken teilhaben. Nehmen wir (völlig willkürlich) $\begin{eqnarray} p=5 \end{eqnarray}$ . Dann nehmen wir (völlig willkürlich) die Elemente $\begin{eqnarray} a,b,c,x,y \end{eqnarray}$ und die Elemente $\begin{eqnarray} 0,1,2,3,4 \end{eqnarray}$ . Die letzteren können wir mit den Restklassen $\begin{eqnarray} \overline 0=0+5\mathbb Z,...,\overline 4= 4+5\mathbb Z \end{eqnarray}$ identifizieren. Von diesen Elemente weißt du, wie und warum sie eine additive Gruppe bilden. Die Identifikation $\begin{eqnarray} x\mapsto \overline x=x+5\mathbb Z \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x=0,1,2,3,4 \end{eqnarray}$ ist ein Gruppenisomorphismus, wenn wir mit den $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ genau so rechnen wie mit den $\begin{eqnarray} \overline x \end{eqnarray}$ . Es spricht auch nichts gegen die Abbildung $\begin{eqnarray} a\mapsto 0, b\mapsto 1, c\mapsto 2, x\mapsto 3, y \mapsto 4 \end{eqnarray}$ , was wieder einen Isomorphismus gibt, wenn wir mit $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ so rechnen wie mit $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ . Es gibt also offensichtlich unendlich viele isomorphe Gruppen mit $\begin{eqnarray} p=5 \end{eqnarray}$ Elementen, sie unterscheiden sich nur durch die Bezeichnung ihrer Elemente, und genau das ist es, was einen Isomorphismus ausmacht. Der Unterschied zwischen isomorphen Gruppen ist in der Gruppentheorie völlig unwesentlich, deshalb betrachtet man Gruppen immer "bis auf Isomorphie".
29.03.2017, 17:59	Jowi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort. Also meine erste Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/ p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ hätte ich dann schonmal. Kann es sein, dass ich nun weitere Gruppen suchen muss, die zu meiner bereits gefundenen Gruppe Isomorph sind? Zitat: "Nach dem Satz von Lagrange teilt die Ordnung einer Untergruppe die Ordnung der Gruppe, also bleiben für die Untergruppen hier nicht viele Möglichkeiten." Da $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ prim ist, würde ja nur eine weitere Gruppe in frage kommen: $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/ 1\mathbb Z,+) \times (\mathbb Z/ p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ , da nach dem chinesischem Restsatz gilt: $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/ a\mathbb Z,+) \times (\mathbb Z/ b\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ isomorph zu $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/ ab\mathbb Z,+) <=> a \end{eqnarray}$ Teilerfremd zu $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ Also zusammengefasst wären meine Gruppen dann: $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/ p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/ 1\mathbb Z,+) \times (\mathbb Z/ p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ welche isomorph zu $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/ p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ ist. Ist das soweit korrekt? (ich habe deine zweite Antwort noch nicht gelesen bevor ich das hier geschrieben habe, das ist mir erst danach aufgefallen, ich schaue sie mir jetzt an, danke schonmal!)
29.03.2017, 18:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Unsere Beiträge haben sich gerade eben zeitlich überschnitten, macht aber nichts. Du siehst, dass deine Gruppen viel zu konkret sind, deshalb hast du zu wenig Beispiele. Gruppen sind abstrakte algebraische Strukturen, ihre Elemente sind in der Gruppentheorie bedeutungslos. Konkrete Gruppen treten natürlich auch auf, sie lassen sich aber immer einem Isomorphietyp zuordnen.
29.03.2017, 18:24	Jowi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich glaube ich verstehe nun den Part mit "bis auf Isomorphie", das würde dann ja bedeuten, dass $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/ p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ die einzige Lösung ist, da $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/ 1\mathbb Z,+) \times (\mathbb Z/ p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ isomorph zu $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/ p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ ist und somit unbedeutend.
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29.03.2017, 19:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Begründung ist falsch. Möchtest du noch einmal darüber nachdenken ? Es gibt zum Beispiel in der euklidischen Ebene die Gruppe der Drehungen um den Ursprung, die von der Drehung um den Winkel $\begin{eqnarray} \frac {2\pi}p \end{eqnarray}$ erzeugt wird. Sie hat die Ordnung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und heißt $\begin{eqnarray} C_p \end{eqnarray}$ , die zyklische Gruppe der Ordnung p. Du darfst nicht nur an Untergruppen der ganzen Zahlen denken, sonst kommst du über abelsche Gruppen nicht hinaus. Denke auch immer an "symmetrische Gruppen", das sind Permutationsgruppen. Die $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ enthält für jeden Teiler $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ von n zyklische Gruppen der Ordnung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , z.B. die Erzeugnisse elementfremder Zykel der Länge $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ .
29.03.2017, 20:03	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber deine anderen Beispiele sind doch alle zu $\begin{align} (\mathbb Z/p\mathbb Z, +) \end{align}$ isomorph. Ich weiß nicht, worauf du hinaus willst, ich sage dir nur, dass es sich aus deinem Beitrag so anhört, als würdest du widersprechen, dass dies der einzige Isomorphietyp ist. Das kann leicht zu Missverständnissen führen, falls es von Jowi falsch verstanden wird.
29.03.2017, 22:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich sind diese Gruppen alle isomorph, aber man kann nicht beweisen, dass alle Gruppen der Ordnung p zu $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ isomorph sind, indem man einen Isomorphismus angibt, denn dazu müsste man alle Gruppen der Ordnung p kennen. Es muss ein anderes Argument gefunden werden. Tipp: Man betrachte die Ordnungen der Gruppenelemente.
30.03.2017, 15:02	Jowi	Auf diesen Beitrag antworten »
So, ich versuche nochmal mein Glück, davor aber nochmal ein dickes Dankeschön für die bisherige Hilfe Wie ich das jetzt verstanden habe, muss ich im Prinzip nur noch beweisen, dass $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ meine einzige Lösung ist. Dabei soll ich mir die Ordnung der Gruppenelemente zur Hilfe nehmen und außerdem Gruppen wie $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ und ihre zyklischen Untergruppen betrachten. Ich habe mir dazu folgendes überlegt: Zuerst zur Ordnung der Gruppenelemente von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ : Die Ordnung eines Gruppenelementes ist ein Teiler der Ordnung der Gruppe (Satz von Lagrange). Da $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine Primzahl ist, sind nur $\begin{eqnarray} 1 \wedge p \end{eqnarray}$ Teiler von $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und somit ist $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/1\mathbb Z,+)\times (\mathbb Z/p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ die einzige weitere Gruppe mit Ordnung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ die in Frage kommt, die allerdings Isomorph zu $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ ist. Nun zur Symmetrischen Gruppe: Die Symmetrische Gruppe $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ hat Ordnung $\begin{eqnarray} n! \end{eqnarray}$ . Das heißt ich müsste eine Gruppe finden für dessen Ordnung $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} n!=p \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ allerdings eine Primzahl ist, existiert ein solches $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ nicht. Somit gibt es auch keine Symmetrische Gruppe mit Ordnung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Nun noch zum letzten Fall, den zyklischen Untergruppen von $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ : Zitat Elvis: "Die $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ enthält für jeden Teiler $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ von n zyklische Gruppen der Ordnung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ [...]" Sei nun $\begin{eqnarray} n=ap \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Dann wäre $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray} ap \end{eqnarray}$ und es existiert eine zyklische Untergruppe zu $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ mit Ordnung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Nach dem was Clearly_wrong geschrieben hat, ist aber $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ die einzige Lösung, d.h. diese zyklischen Untergruppen müssten ebenfalls Isomorph zu $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/p\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ sein. Ich wüsste nur nicht, wie ich das noch zeige. Ich hoffe ich habe jetzt nicht totalen Unfug hier gemacht. Als ich bei der Ordnung der Gruppenelemente ein wenig ausprobiert habe, ist mir aufgefallen, dass ich gar nicht weiß, wie ich die Ordnung eines Gruppenelementes einer Gruppe mit Addition als Operation bestimme. Für multiplikative Gruppen nehme ich mir ja ein Element aus der Gruppe und Quadriere es solange, bis ich das neutrale Element bekomme. Wie aber mache ich das für additive Gruppen? Bezogen auf ein Beispiel: $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/5\mathbb Z,)^* \end{eqnarray}$ hat die Elemente $\begin{eqnarray} {1,2,3,4} \end{eqnarray}$ . Die $\begin{eqnarray} Ord(4) \end{eqnarray}$ wäre $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ , denn 4 $\begin{eqnarray} ^1=4, 4^2=16\equiv 1 \end{eqnarray}$ . Die $\begin{eqnarray} ord(4)=2 \end{eqnarray}$ ist auch ein Teiler von $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ (Ordnung der Gruppe), somit passt das mit dem Satz von Lagrange. Nun aber zur Additiven Gruppe: $\begin{eqnarray} (\mathbb Z/5\mathbb Z,+) \end{eqnarray}$ . Die Elemente sind nun $\begin{eqnarray} {0,1,2,3,4} \end{eqnarray}$ , womit die Ordnung $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ beträgt. Würde man nun die $\begin{eqnarray} ord(4) \end{eqnarray}$ genauso berechnen wie zuvor bei der multiplikativen Gruppe, wäre $\begin{eqnarray} ord(4)=2 \end{eqnarray}$ und somit kein Teiler von $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray*}$ . Wie also berechne ich dann die Ordnung eines Gruppenelementes nun Ok, der letzte Absatz hat sich erledigt, habe es glaube ich gerade herausgefunden
30.03.2017, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, Jowi, deine Mühe ist lobenswert, aber vergeblich. Dein grundsätzliches Problem hast du noch nicht überwunden, denn du glaubst anscheinend immer noch, eine Gruppe sei etwas konkretes, aber Gruppen sind wie alle algebraischen Strukturen nur bis auf Isomorphie bestimmt. Zu dieser Aufgabe mit einer Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Primzahl. Es gibt ein Element der Ordnung 1, dies ist das neutrale Element. Ordnung 1 heißt additiv : $\begin{eqnarray} 1\cdot 0=0 \end{eqnarray}$ , Ordnung 1 heißt multiplikativ $\begin{eqnarray} 1^1=1 \end{eqnarray}$ . In einer Gruppe gibt es genau ein neutrales Element, also gibt es genau ein Element der Ordnung 1. Die Ordnung eines Gruppenelements ist nach Lagrange ein Teiler der Gruppenordnung. Da $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine Primzahl ist, haben alle anderen Element die Ordnung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Wir nehmen ein von dem neutralen Element verschiedenes Gruppenelement $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , dann ist in einer additiven Gruppe $\begin{eqnarray} G=\{1\cdot a=a, 2\cdot a=a+a,..., p\cdot a=a+...+a=0\} \end{eqnarray}$ und in einer multiplikativen Gruppe $\begin{eqnarray} G=\{a^1=a,a^2=a\cdot a,...,a^p=a\cdot ... \cdot a=1\} \end{eqnarray}$ . Ob man die Gruppenverknüpfung als Addition oder als Multiplikation schreibt oder sonst in irgend einer Weise, ist völlig egal, es gibt nach dem eben gezeigten nur eine Gruppe mit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Elementen. Weil sie als Zyklus aus den Vielfachen eines Elements besteht, nennt man sie die zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und schreibt dafür $\begin{eqnarray} C_p \end{eqnarray}$ . Übrigens erhält man durch $\begin{eqnarray} a\mapsto b \end{eqnarray}$ einen Automorphismus von $\begin{eqnarray} C_p \end{eqnarray}$ für je zwei Elemente der Ordnung $\begin{eqnarray} p\in C_p \end{eqnarray}$ . Für jede konkrete Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ der Ordnung $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ muss man nur einem erzeugenden Element $\begin{eqnarray} a\in G \end{eqnarray}$ ein erzeugendes Element $\begin{eqnarray} b\in C_p \end{eqnarray}$ zuordnen, und schon hat man einen Isomorphismus.

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