Stochastik: Randverteilung, bedingte Verteilung

29.03.2017, 17:23

Paulina_nana

Stochastik: Randverteilung, bedingte Verteilung

Meine Frage:
Hallo smile

Ich beschäftige mich zur Zeit mit der als Bild hinzugefügten Aufgabe. Hier soll man ja in Aufgabenteil a) die Randverteilung von X bestimmen.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass man falls man eine gemeinsame Dichtefunktion für zwei Zufallsvariablen gegeben hat und die Randverteilung von X bestimmen will man die Dichtefunktion nach y integriert. Hier ist ja jetzt U stetig verteilt und ich habe nur die bedingte diskrete Verteilung P[X=k | U=u] gegeben.

In der Lösung (ebenfalls angehängt) wird jetzt die Randverteilung von X bestimmt indem die bedingte Verteilung nach u integriert wird. Warum darf ich das so machen? Die bedingte Verteilung entspricht doch eigentlich nicht der gemeinsamen Verteilung?

Weiter verstehe ich die c) nicht ganz. Klar mit a) folgt dass P[X=3] = 1/10 .
Um die bedingte Verteilung zu bestimmen würde ich jetzt P[U < u, X = 3] / P[X=3] rechnen.
Wie kommt man hier in der Lösung auf das Integral mit den Grenzen 0 bis u?

Danke!

29.03.2017, 17:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Paulina_nana
In der Lösung (ebenfalls angehängt) wird jetzt die Randverteilung von X bestimmt indem die bedingte Verteilung nach u integriert wird. Warum darf ich das so machen?

Das kann man nur richtig erklären mit Maßtheorie. Deshalb hier die "heuristische" Erklärungsvariante: Wäre $\begin{align*} U \end{align*}$ nur diskret verteilt mit den möglichen Werten $\begin{align*} u_1,\ldots,u_n \end{align*}$ , dann gilt gemäß totaler Wahrscheinlichkeit

$\begin{align*} P(X=x) = \sum_{k=1}^n P(X=x\,\wedge\,U=u_k) = \sum_{k=1}^n P(X=x \mid U=u_k)\cdot P(U=u_k) \end{align*}$ .

In der stetigen Variante wird aus $\begin{align*} P(U=u_k) \end{align*}$ dann $\begin{align*} P(u\leq U\leq u+\dd u) = f_U(u)~ \dd u \end{align*}$ und aus der Summe ein Integral, d.h.

$\begin{align*} P(X=x) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} P(X=x \mid U=u)\cdot f_U(u) ~ \dd u \end{align*}$ ,

was bei der vorliegenden Gleichverteilung mit Dichte $\begin{align*} f_U(u)=1_{(0,1)}(u) \end{align*}$ dann einfach $\begin{align*} P(X=x) = \int\limits_0^1 P(X=x \mid U=u) ~ \dd u \end{align*}$ bedeutet. D.h., es wird nicht "einfach" nur nach $\begin{align*} u \end{align*}$ integriert, es ist schon noch die Dichte als Faktor dabei - was man hier aber nicht so richtig merkt, weil der Dichtewert in diesem Intervall (0,1) genau gleich 1 ist. Augenzwinkern

c) Selbe Begründung wie bei a), nur dass da in der diskreten Variante nicht über alle $\begin{align*} k \end{align*}$ summiert wird, sondern nur über die mit $\begin{align*} u_k\leq u^* \end{align*}$ :

$\begin{align*} P(U\leq u^*,X=x) = \sum_{k:\,u_k\leq u^*} P(U=u_k,X=x) = \sum_{k:\,u_k\leq u^*} P(X=x \mid U=u_k)\cdot P(U=u_k) \end{align*}$

in der stetigen Variante dann (s.o.)

$\begin{align*} P(U\leq u^*,X=x) = \int\limits_{-\infty}^{u^*} P(X=x \mid U=u)\cdot f_U(u) ~ \dd u \end{align*}$ .

29.03.2017, 18:00

Paulina_nana

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Vielen Dank!! Da hätte ich jetzt noch ewig dran gesessen Hammer

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