Jede Funktion von Z3 nach Z3 ist Polynomfunktion

30.03.2017, 14:54	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede Funktion von Z3 nach Z3 ist Polynomfunktion Hey Leute, habe bereits mein Skript sowie das Forum durchsucht und auch Google, konnte aber nichts finden, was mir einen "aha" Moment verschaffen konnte... Warum ist jede Funktion von einem endlichen Körper in sich selbst eine Polynomfunktion? Beispiele wären ja der Restklassenring Z3 oder auch Z2... Wäre sehr froh wenn mir jemand die Augen öffnen könnte Danke und LG
30.03.2017, 18:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynominterpolation mit allen (endlich vielen !) Stützstellen $\begin{eqnarray} x\in \mathbb F \end{eqnarray}$ ( https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation ) Demnach genügt stets ein Polynom vom Grade höchstens $\begin{eqnarray} \mathbb F-1 \end{eqnarray}$
30.03.2017, 20:32	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Elvis, daran hatte ich auch schon gedacht, jedoch beweist das doch genaugenommen nur, dass alle Funktionen durch Polynome approximiert bzw. ersetzt werden können, aber nicht dass es NUR solche gibt. Sprich, es kann keine andere Funktionen geben... Lg
30.03.2017, 20:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Von welchen "anderen" Funktionen sprichst du? Meinst du nicht vielleicht nur andere Darstellungen? Ein Beispiel: So kannst du z.B. $\begin{align} f:\;\{-1,0,1\}\to \{0,1\} \end{align}$ mit $\begin{align} f(x)=1-x^2 \end{align}$ auch als $\begin{align} f(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \end{align}$ schreiben, es ist dieselbe Funktion!
30.03.2017, 21:02	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
aah! da ist er ja der "aha" Moment! Ich sprach in der Tat von solchen "gleichen" Funktionen, anderer Darstellungsart. Das bedeutet, aber jetzt nicht dass cos eine Polynomfunktion ist, sondern nur, dass es nur Polynomfunktionen gibt, da die anderen als gleich aufgefasst werden können oder? Zu sagen, es gäbe nur Polynomfunktionen implementiert ja gewissermaßen, dass cos garnicht vorkommen dürfte... theoretisch aber trotzdem könnte, da die spezielle cos-Funktion dann einfach gleich wie eine Polynomfunktion ist. Wie könnte ich das allgemein "zeigen", dass das so ist? Meine Idee: Da es Beispielsweise von Z3 nach Z3 nur endlich viele Abbildungen gibt, nämlich 0 auf 0,1,2 und 1 auf 0,1,2 und 2 auf 0,1,2 und all diese als Polynomfunktion geschrieben werden können, gibt es also "nur" Polynomfunktionen. Ist der Beweis so korrekt?
30.03.2017, 21:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf der Definitionsmenge $\begin{eqnarray} \{-1,0,1\} \end{eqnarray}$ eingeschränkt - und nur darum geht es hier - sind es dieselben Funktionswerte, und damit auch dieselbe Funktion. Der Clou ist eben, dass man bei endlicher Definitionsmenge stets eine Polynomdarstellung findet (das von Elvis genannte Interpolationspolynom), bei unendlicher Definitionsmenge aber i.a. nicht.
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30.03.2017, 21:07	manuel459	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank an euch! Ich habs jetzt raus! LG
30.03.2017, 23:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich möchte das noch deutlicher sagen. Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie für jedes Element x im Definitionsbereich denselben Funktionswert haben. Wenn man eine beliebige Selbstabbildung f auf einem endlichen Körper hat, gibt es eine Polynomabbildung p auf dem Körper mit denselben Funktionswerten, also ist f=p. Wenn p eine Polynomfunktion ist und p=f ist, dann ist f eine Polynomfunktion.

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