Grenzwert einer Reihe

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memuench2302 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Reihe
Meine Frage:
Hallo,

Ich habe Probleme den Grenzwert einer Reihe zu bestimmen. Ich habe das Gefühl ich habe ein Fehler in der Partialbruchzerlegung gemacht, bin mir dessen aber unsicher. Im Anhang befindet sich die Aufgabe.

Meine Ideen:
Zuerst die Partialsummenzerlegung. Zuerst habe ich die Nullstellen zu f(k) = k(k+3) berechnet. Also 0 = k(k+3) | k1=0; 0=k+3 ; -3=k
Folglich sind die Nullstellen k1=0 und k2=-3. Die Form ist dann ak = A/k + B/(k+3) = 1/(k(k+3)). Das soll dann auf den selben Nenner gebracht werden. Also hat man dann:

Nach Zusammenfassen erhält man dann:


Da (A+B)k null sein muss damit die Gleichung gleich der Ausgangsgleichung ist lauten die Gleichungssysteme:

(A+B)*k=0 & 3A = 1
A=1/3 B=-1/3

Soweit sah das wie ein vernünftiges Ergebnis aus. Jedoch komme ich so durch die Partialsummenmethode auf keinen vernünftigen Grenzwert. Die Methodik ist jedoch vorgeben. So sähe das bei mir aus:



Zuerst eine Indexverschiebung um die 2. Aussage gleich der ersten zu machen:



Wenn man nun den ersten Wert und den letzten Wert nimmt, hat man:

oder auch

Wenn n->unendlich konvergiert die Gleichung und der Grenzwert wäre 1/3. Macht die Berechnung so Sinn?
zinR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Reihe
Zitat:
Original von memuench2302




Hier bist du eigentlich fertig. (Alles was danach kommt, kann ich leider nicht so leicht nachvollziehen.)
Versuche doch einfach, die beiden Summen (für ) wieder zusammenzufassen. Du wirst feststellen, dass Du einen endlichen Wert erhältst smile
Peter1995 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Reihe
Muss nicht die rechte Summe bis n+3 und nicht n+4 gehen.
Mich würde interssieren, wie du die Summen zusammenfassen willst?
memuench2302 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Reihe
Zitat:
Original von zinR
Zitat:
Original von memuench2302




Hier bist du eigentlich fertig. (Alles was danach kommt, kann ich leider nicht so leicht nachvollziehen.)
Versuche doch einfach, die beiden Summen (für ) wieder zusammenzufassen. Du wirst feststellen, dass Du einen endlichen Wert erhältst smile


Hallo,
Mein Sinn dahinter war, dass die Werte zwischen k=1 bis n+4 ja zwischen den beiden Summen gleich sind. Das was diese unterscheidet ist einmal der andere Startindex und der andere endindex. Diese beiden hab ich somit rausgeschrieben.
Was meinst du damit? Kannst du mir bitte einen Ansatz geben?
zinR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Reihe
Zunächst hat Peter1995 recht, die rechte Summe geht nur bis . Im Grenzwert ist das aber egal.

Betrachte doch einfach .
Insgesamt bleiben hier nur endlich viele Summanden.

Edit: Du kannst das auch zuerst zusammenfassen. Dir bleiben von der linken Summe aber 3 Summanden () und von der rechten auch 3 Summanden (), welche dann im Grenzwert verschwinden smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von memuench2302
Das was diese unterscheidet ist einmal der andere Startindex und der andere endindex. Diese beiden hab ich somit rausgeschrieben.

Schau bitte genau hin:

Die zweite Summe beginnt nicht bei 2, sondern erst bei 4. Somit enthält die erste Summe nicht nur den einen Summanden für k=1, sondern auch noch die für k=2 sowie k=3, welche nicht in der zweiten Summe sind. Dafür enthält letztere zusätzlich die Summanden für k=n+1, k=n+2 sowie k=n+3 (der für k=n+4 bei dir ist falsch, der muss weg). Das ergibt dann was?


Zitat:
Original von zinR
Betrachte doch einfach .

Das ist so geschrieben nicht gestattet: Du subtrahierst hier zwei divergente Reihen, d.h., . unglücklich

Nein, man muss hier zunächst bei endlichen Summen bleiben, und kann erst nach der beschriebenen Vereinfachung den Grenzübergang durchführen.
 
 
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Das ist so geschrieben nicht gestattet: Du subtrahierst hier zwei divergente Reihen, d.h., . unglücklich

Nein, man muss hier zunächst bei endlichen Summen bleiben, und kann erst nach der beschriebenen Vereinfachung den Grenzübergang durchführen.


Gut zu wissen, Danke! Ich dachte, dass es sich hier um eine bloße Schreibweise handelt. Ist denn auch nicht erlaubt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind endliche Summen, da ist es erlaubt. Was du oben gemacht hattest ist, die Rechenregel



auch für divergente Folgen und anzuwenden - und das ist nicht statthaft. Insbesondere auch dann nicht, wenn existiert.
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja, klar!

Dann danke ich nochmal für die Berichtigung smile
memuench2302 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Das sind endliche Summen, da ist es erlaubt. Was du oben gemacht hattest ist, die Rechenregel



auch für divergente Folgen und anzuwenden - und das ist nicht statthaft. Insbesondere auch dann nicht, wenn existiert.


Erstmal danke an euch beide. Das mit den Grenzwert habe ich ausgebessert. Jedoch bin ich nun noch verwirrter. Was soll ich nun machen nach der Indexverschiebung?
Ich verstehe es jetzt so:
(1/3) / 1 + (1/3) / 2 + (1/3) / 3 = 1/3 + 1/6 + 1/9 = 11/18 (?)
(1/3) / (n+1) + (1/3) / (n+2) + (1/3) / (n+3) = Hab jetzt nix da um das gescheit zu rechnen aber im Nenner wird ein n sein also konvergent. Richtig?
Edit: Am Ende steht dann da 11/18 - 2. Ergebnis
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis stimmt.

Du kannst das dann auch in eine Zeile schreiben:
.
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