Der Abschluss ist abgeschlossen

31.03.2017, 21:12	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Abschluss ist abgeschlossen Guten Abend, ich möchte zeigen, dass der Abschluss einer Menge in einem topologischen Raum abgeschlossen ist. Ich habe die Definitionen, dass der Abschluss aus denjenigen Elementen besteht, die der Grenzwert eines Netzes sind und dass eine Menge dann abgeschlossen ist, wenn ihr Komplement offen ist. Meine Idee ist zu zeigen, dass der Abschluss von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ der Durchschnitt aller abgeschlossenen Obermengen von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist. Dazu habe ich die erste Teilinklusion bereits gezeigt, habe aber Probleme zu zeigen, der Durchschnitt aller abgeschlossenen Obermengen eine Teilmenge des Abschlusses ist. Wenn ich nämlich einen Punkt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ habe, der nicht im Abschluss liegt, weiß ich ja, dass es kein Netz in $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ gibt, dass gegen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ konvergiert. Das heißt es gibt für jedes solche Netz eine offene Umgebung $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , sodass die Elemente des Netzes nicht irgendwann alle in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ liegen. Aber wie fahre ich nun fort? Ich danke euch für eure Unterstützung! Freundliche Grüße daLoisl
31.03.2017, 21:48	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde das direkt zeigen, also ohne über den Umweg mit dem Schnitt abgeschlossener Mengen zu gehen, das ist einfacher. Angenommen $\begin{align} {\bar A}^c \end{align}$ wäre nicht offen. Dann gibt es $\begin{align} x\in {\bar A}^c \end{align}$ , das kein innerer Punkt dieser Menge ist. Folglich gilt für jede offene Menge $\begin{align} U \end{align}$ mit $\begin{align} x\in U \end{align}$ , dass $\begin{align} U\cap A\neq \emptyset \end{align}$ , es gibt also $\begin{align} x_U\in U\cap A \end{align}$ . Reicht das als Tipp? Wir können uns danach natürlich gerne auch noch überlegen, warum der Satz über den Abschluss, den du zeigen wolltest, auch gilt.
31.03.2017, 22:12	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Um zu sagen, dass es einen Punkt gibt, der kein innerer Punkt ist, müsste man doch zuerst wissen, dass das Innere einer Menge immer offen ist, oder nicht? Und das ist äquivalent dazu, dass der Abschluss abgeschlossen ist, weil das Innere als Komplement eines Abschlusses definiert ist.
31.03.2017, 22:36	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne eine andere Definition von innerer Punkt. Das ist aber auch egal, Fakt ist, dass eine Menge $\begin{align} O \end{align}$ genau dann offen ist, wenn es jedem $\begin{align} x\in O \end{align}$ eine offene Menge $\begin{align} U \end{align}$ mit $\begin{align} x\in U\subset O \end{align}$ gibt. Ob nun diese Eigenschaft $\begin{align} x \end{align}$ zu einem inneren Punkt macht, ist völlig egal, du kannst sie ja auch benutzen, wenn du sie nicht so nennst. Dass diese Charakterisierung richtig ist, ist trivial. Wenn $\begin{align} O \end{align}$ offen ist, kann man für jedes $\begin{align} x\in O \end{align}$ einfach $\begin{align} U=O \end{align}$ wählen. Kennt man anders herum diese Eigenschaft, so wähle irgendein offenes $\begin{align} U_x \end{align}$ mit $\begin{align} x\in U_x\subset O \end{align}$ . Offensichtlich ist $\begin{align} O = \bigcup_{x\in O}U_x \end{align}$ offen. Ist also $\begin{align} \bar A^c \end{align}$ nicht offen, muss es ein $\begin{align} x \end{align}$ geben, das diese Charakterisierung verletzt.
01.04.2017, 00:24	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, damit habe ich es geschafft!

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