Rekursion

01.04.2017, 16:07

Sito

Rekursion

Hallo erstmal,

der Titel ist nicht sehr aussagekräftig, leider weiss ich nicht so recht um was es in der Aufgabe selber genau geht..

Sei $\begin{align*} n\ge 2 \end{align*}$ und $\begin{align*} f_n: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n \end{align*}$ rekursiv gegeben durch $\begin{align*} f_2(r,\theta_1)=\begin{pmatrix}r\cos(\theta_1)\\r\sin(\theta_1)\end{pmatrix} \end{align*}$ und $\begin{align*} f_n(r,\theta_1, \dots,\theta_{n-1})= \begin{pmatrix}f_{n-1}(r,\theta_1,\dots,\theta_{n-2})\cos(\theta_{n-1})\\r\sin(\theta_{n-1})\end{pmatrix} \end{align*}$ .

Nun soll ich zuerst mal $\begin{align*} f_4 \end{align*}$ explizit angeben. Leider bin ich mir hier nicht wirklich sicher ob ich das auch richtig mache. Ich erhalte zuerst mal $\begin{align*} f_3(r,\theta_1,\theta_2)= \begin{pmatrix}f_2(r,\theta_1)\cos(\theta_2)\\r\sin(\theta_2)\end{pmatrix} \end{align*}$ , aber das würde ja dann bedeuten, dass $\begin{align*} f_3(r,\theta_1,\theta_2)=\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}r\cos(\theta_1)\\r\sin(\theta_1)\end{bmatrix}\cos(\theta_2)\\r\sin(\theta_2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos(\theta_1)\cos(\theta_2)\\ r\sin(\theta_1)\cos(\theta_2) \\ r\sin(\theta_2) \end{pmatrix} \end{align*}$ .
Funktioniert das wirklich so, bzw. darf man einfach so wie eine Zeile mehr zum Vektor hinzufügen?

Die zweite Teilaufgabe ist es nun zu zeigen, dass $\begin{align*} \|f_n(r,\theta_1, \dots,\theta_{n-1}) \|=|r| \end{align*}$ gilt. Ich dachte mir ich mache das mit Induktion.. Ich verwende weiter auch einfach mal die 2-Norm, da wir auf $\begin{align*} \mathbb{R}^n \end{align*}$ sind gilt ja glaube ich sowieso die Normäquivalenz oder?
Anfang: $\begin{align*} n=2\Rightarrow \|f_2(r,\theta_1)\|= \Bigg\|\begin{pmatrix}r\cos(\theta_1)\\r\sin(\theta_1)\end{pmatrix}\Bigg\| = \sqrt{r^2\sin(\theta_1)^2 + r^2\cos(\theta_1)^2}= \sqrt{r^2(\sin(\theta_1)^2+\cos(\theta_1)^2)}=|r| \end{align*}$
Annahme: Ang. die Aussage stimmt für $\begin{align*} n-1 \end{align*}$ .
Schritt: $\begin{align*} \|f_{n}(r,\theta_1,\dots,\theta_n)\|=\Bigg\| \begin{pmatrix}f_{n-1}(r,\theta_1,\dots,\theta_{n-2})\cos(\theta_{n-1})\\r\sin(\theta_{n-1})\end{pmatrix}\Bigg\|= \sqrt{\underbrace{f_{n-1}^2(r,\theta_1,\dots,\theta_{n-2})}_{=r^2}\cos(\theta_{n-1})^2 + r^2\sin(\theta_{n-1})^2}=|r| \end{align*}$ .

Der Schritt sieht mir aber irgendwie nicht so korrekt aus... Wäre froh wenn sich mal jemand das was ich bis jetzt gemacht habe mal ansehen könnte...

Gruss Sito

01.04.2017, 16:37

Leopold

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RE: Rekursion

Zitat:

Original von Sito
aber das würde ja dann bedeuten, dass $\begin{align*} f_3(r,\theta_1,\theta_2)=\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}r\cos(\theta_1)\\r\sin(\theta_1)\end{bmatrix}\cos(\theta_2)\\r\sin(\theta_2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos(\theta_1)\cos(\theta_2)\\ r\sin(\theta_1)\cos(\theta_2) \\ r\sin(\theta_2) \end{pmatrix} \end{align*}$ .
Funktioniert das wirklich so, bzw. darf man einfach so wie eine Zeile mehr zum Vektor hinzufügen?

Ja, das ist hier so gemeint (Blockmatrizenschreibweise).

Zitat:

Original von Sito
Schritt: $\begin{align*} \|f_{n}(r,\theta_1,\dots,\theta_n)\|=\Bigg\| \begin{pmatrix}f_{n-1}(r,\theta_1,\dots,\theta_{n-2})\cos(\theta_{n-1})\\r\sin(\theta_{n-1})\end{pmatrix}\Bigg\|= \sqrt{\underbrace{f_{n-1}^2(r,\theta_1,\dots,\theta_{n-2})}_{=r^2}\cos(\theta_{n-1})^2 + r^2\sin(\theta_{n-1})^2}=|r| \end{align*}$ .

Der Schritt sieht mir aber irgendwie nicht so korrekt aus...

Auf die Norm kommt es schon an. Aber ich denke, daß die Doppelstriche hier tatsächlich die euklidische Norm meinen.
Deine Idee ist korrekt. Allerdings hast du dich, wie du selbst vermutest, bei der Umsetzung vertan. Es gilt:

$\begin{align*} \left\| \begin{pmatrix} f_{n-1} \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right) \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \\ r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \end{pmatrix} \right\| = \sqrt{\left\| f_{n-1} \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right) \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \right\|^2 + \left( r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \right)^2} \end{align*}$

Die Doppelstriche am Anfang bezeichnen die euklidische Norm auf $\begin{align*} \mathbb{R}^n \end{align*}$ , die unter der Wurzel die euklidische Norme auf $\begin{align*} \mathbb{R}^{n-1} \end{align*}$ . Die Doppeldeutigkeit der Bezeichnung ist nicht ganz astrein, auf der anderen Seite sehr suggestiv.

Beachte: $\begin{align*} {x_1}^2 + {x_2}^2 + \ldots + {x_{n-1}}^2 + {x_n}^2 = \left( {x_1}^2 + {x_2}^2 + \ldots + {x_{n-1}}^2 \right) + {x_n}^2 \end{align*}$

01.04.2017, 17:48

Sito

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Zuerst mal vielen Dank für die Korrektur und Tipps!

Ich glaube, aber ich verstehe deinen Hinweis nicht so wirklich.
$\begin{align*} \left\| \begin{pmatrix} f_{n-1} \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right) \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \\ r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \end{pmatrix} \right\| &= \sqrt{\left\| f_{n-1} \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right) \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \right\|^2 + \left( r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \right)^2} = \sqrt{\sqrt{f_{n-1}^2 \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right)\cos^2(\vartheta_{n-1})}^2+ \left( r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \right)^2}\\ &= \sqrt{\sqrt{f_{n-1}^2 \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right)}^2\sqrt{\cos^2(\vartheta_{n-1})}^2+ \left( r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \right)^2}=\sqrt{\|f_{n-1} \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right)\|^2\cos^2(\vartheta_{n-1})+ r^2\sin^2 \left( \vartheta_{n-1} \right)}\\ &= \sqrt{ |r|^2\cos^2(\vartheta_{n-1})+ r^2\sin^2 \left( \vartheta_{n-1} \right)} = |r| \end{align*}$

Könntest du mir echt aufzeigen wo genau mein Fehler ist? Und vlt. noch einmal etwas ausführen wieso ich beachten sollte, dass $\begin{align*} {x_1}^2 + {x_2}^2 + \ldots + {x_{n-1}}^2 + {x_n}^2 = \left( {x_1}^2 + {x_2}^2 + \ldots + {x_{n-1}}^2 \right) + {x_n}^2 \end{align*}$ gilt.

Es gibt noch zwei weitere Teilaufgaben, hoffe es ist ok wenn ich meine Überlegungen dazu auch noch poste.

Und zwar sollen wir in einem nächsten Schritt zeigen, dass alle partiellen Ableitungen $\begin{align*} \partial_rf_n, \partial_{\vartheta_i}f_n \end{align*}$ für alle $\begin{align*} i=1,\dots,n-1 \end{align*}$ paarweise orthogonal sind. Da ich mit der euklidischen Norm gerechnet haben muss ich nun auch mit dem Standardskalarprodukt rechnen.

Ich dachte auch hier an Induktion nach $\begin{align*} n \end{align*}$ .
Anfang: $\begin{align*} n=2\Rightarrow \partial_rf_2= \begin{pmatrix}\cos(\vartheta_1)\\\sin(\vartheta_1)\end{pmatrix} \end{align*}$ und $\begin{align*} \partial_{\vartheta_1}f_2= \begin{pmatrix}-r\sin(\vartheta_1)\\r\cos(\vartheta_1)\end{pmatrix} \end{align*}$ . Es folgt $\begin{align*} \left\langle \begin{pmatrix}\cos(\vartheta_1)\\\sin(\vartheta_1)\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-r\sin(\vartheta_1)\\r\cos(\vartheta_1)\end{pmatrix}\right\rangle = 0 \end{align*}$ , was bedeutet die Vektoren sind orthogonal zueinander.
Annahme: Ang. die Aussage stimmt für $\begin{align*} n-1 \end{align*}$ .

Und bei dieser Aufgabe komme ich nicht mal weiter als bis hierhin... Ich weiss ehrlich gesagt nicht, wie die Aussage überhaupt für $\begin{align*} n-1 \end{align*}$ aussehen soll, was natürlich auch bedeutet, dass ich den Schritt nicht aufstellen kann und dann darauf zurückführen.

Hoffe du kannst mir hier auch noch ein zwei Tipps geben.
Gruss Sito

01.04.2017, 20:33

Leopold

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Zitat:

Original von Sito
$\begin{align*} \left\| \begin{pmatrix} f_{n-1} \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right) \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \\ r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \end{pmatrix} \right\| &= \sqrt{\left\| f_{n-1} \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right) \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \right\|^2 + \left( r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \right)^2} = \sqrt{\color{red} \sqrt{f_{n-1}^2 \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right)\cos^2(\vartheta_{n-1})}^2 \color{black}+ \left( r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \right)^2} \end{align*}$

Das stimmt nicht. Beachte, daß $\begin{align*} f_{n-1} \end{align*}$ ein Element des $\begin{align*} \mathbb{R}^{n-1} \end{align*}$ , also ein Vektor ist. Wie willst du dieses quadrieren? Beachte an dieser Stelle die Regel:

$\begin{align*} \left\| \lambda x \right\| = | \lambda | \cdot \left\| x \right\| \end{align*}$

Hier ist $\begin{align*} x \end{align*}$ ein Vektor, $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ ein Skalar.

01.04.2017, 21:56

Sito

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Mhm, ich sehe das Problem. Vielen Dank für die Erklärung!

In diesem Fall ist dann also $\begin{align*} \cos(\vartheta_{n-1})\in \mathbb{R} \end{align*}$ und somit kann ich diesen als Skalar aus der Norm ziehen? Das würde dann also ungefähr so aussehen:

$\begin{align*} \left\| \begin{pmatrix} f_{n-1} \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right) \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \\ r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \end{pmatrix} \right\| &= \sqrt{\left\| f_{n-1} \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right) \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \right\|^2 + \left( r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \right)^2} = \sqrt{\|f_{n-1}\left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right)\|^2\cdot|\cos(\vartheta_{n-1})|^2+ \left( r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \right)^2} \end{align*}$ .
Nun darf ich aber die Annahme verwenden und sagen $\begin{align*} \|f_{n-1}(r,\vartheta_1,\dots,\vartheta_{n-2})\|=|r| \end{align*}$ und damit folgt dann was ich zeigen soll.

Hoffe mal das funktioniert so.

02.04.2017, 08:19

Leopold

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Ja, so funktioniert es.

02.04.2017, 13:23

Sito

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Wunderbar, besten dank für die Hilfe!

Nun bleibt nur noch zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen paarweise orthogonal zueinander sind. Ich habe ja schon in meinem vorletzten Beitrag dazu etwas geschrieben. Ist der Ansatz richtig? Denn ich komme mit dem Induktionsschritt immer noch nicht wirklich weiter, da ich einfach nicht genau weiss wie man das genau aufstellen muss.

02.04.2017, 21:37

Leopold

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Du kannst die restlichen Aussagen auch mit Induktion beweisen. Der besseren Lesbarkeit halber lasse ich die Argumente bei $\begin{align*} f_{n-1} \end{align*}$ und $\begin{align*} f_n \end{align*}$ und deren partiellen Ableitungen weg, also

$\begin{align*} f_{n-1} = f_{n-1} \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2} \right) \end{align*}$

$\begin{align*} f_n = f_n \left( r,\vartheta_1,\ldots,\vartheta_{n-2},\vartheta_{n-1} \right) \end{align*}$

Für die partielle Ableitung nach $\begin{align*} r \end{align*}$ schreibe ich $\begin{align*} \partial_r f_n \end{align*}$ und für die nach $\begin{align*} \vartheta_i \end{align*}$ vereinfachend $\begin{align*} \partial_i f_n \end{align*}$ . Das ist zwar nicht ganz konsistent, denn $\begin{align*} r \end{align*}$ ist eine Variable und $\begin{align*} i \end{align*}$ eine Nummer. Aber es erleichtert die Lesbarkeit, und Verwechslungen sind nicht zu befürchten.

Jetzt geht es für $\begin{align*} n \geq 2 \end{align*}$ um die Behauptung

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ \langle \partial_r f_n , \partial_i f_n \rangle = 0 \, , \ \ \langle \partial_i f_n , \partial_j f_n \rangle = 0 \, ; \ \ i,j=1,\ldots,n-1; \ i \neq j \end{align*}$

Den Induktionsanfang $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ hast du erfolgreich durchgeführt (die zweite Gleichung ist beim Induktionsanfang eine leere Aussage).

Beim Induktionsschritt ist mir aufgefallen, daß man weitere Gleichungen braucht:

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ \langle \partial_r f_n , f_n \rangle = r \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(3)} \ \ \langle \partial_i f_n , f_n \rangle = 0 \, ; \ \ i=1,\ldots,n-1 \end{align*}$

Es ist sinnvoll, die Induktion über die Konjunktion $\begin{align*} \text{(1)} \wedge \text{(2)} \wedge \text{(3)} \end{align*}$ zu führen. Den Induktionsanfang $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ für $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ haben wir schon. Wir brauchen ihn jetzt noch für $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ und $\begin{align*} \text{(3)} \end{align*}$ . Die einfache Rechnung überlasse ich dir.

Jetzt der Induktionsschritt: Die Behauptungen mögen für $\begin{align*} n-1 \end{align*}$ statt $\begin{align*} n \end{align*}$ bereits bewiesen sein. Dann folgen sie für $\begin{align*} n \end{align*}$ . Ich führe dir die Rechnung für $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ einmal vor. Versuche dich dann selber an $\begin{align*} \text{(3)} \end{align*}$ und $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ .

$\begin{align*} \langle \partial_r f_n , f_n \rangle = \langle \partial_r f_{n-1} \cdot \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) , f_{n-1} \cdot \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \rangle + \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \cdot r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \end{align*}$

In dieser Gleichung steht links das Standardskalarprodukt des $\begin{align*} \mathbb{R}^n \end{align*}$ und rechts des $\begin{align*} \mathbb{R}^{n-1} \end{align*}$ . Da stecken einige einfache, aber nichttriviale Überlegungen dahinter, warum man so rechnen darf. Überprüfe das.
Jetzt nutzt man die Bilinearität und formt unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung weiter um:

$\begin{align*} \ldots = \cos^2 \left( \vartheta_{n-1} \right) \cdot \langle \partial_r f_{n-1} , f_{n-1} \rangle + r \sin^2 \left( \vartheta_{n-1} \right) = r \cos^2 \left( \vartheta_{n-1} \right) + r \sin^2 \left( \vartheta_{n-1} \right) = r \end{align*}$

Damit ist $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ erledigt. Jetzt bist du an der Reihe. Achte auf Fallunterscheidungen: $\begin{align*} 1 \leq i \leq n-2; \ i = n-1 \end{align*}$ .

03.04.2017, 21:49

Sito

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Bevor ich mich an die $\begin{align*} (1)\&(3) \end{align*}$ mache will ich aber doch noch erst etwas nachhaken, da ich nicht wirklich nachvollziehen kann was du genau machst.

Zitat:

Beim Induktionsschritt ist mir aufgefallen, daß man weitere Gleichungen braucht:

Wieso ist es nötig diese zusätzlichen Aussagen auch noch zu zeigen? Nicht, dass ich damit ein Problem hätte, aber es wäre schön nachzuvollziehen wieso ich gewisse Dinge machen muss.

Zitat:

$\begin{align*} \langle \partial_r f_n , f_n \rangle = \langle \partial_r f_{n-1} \cdot \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) , f_{n-1} \cdot \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \rangle + \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \cdot r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \end{align*}$

Hier kann ich dir leider nicht folgen. Ich verstehe einfach nicht wie du auf die zwei Summen kommst. Nach einem kurzen Versuch mit $\begin{align*} f_3 \& f_2 \end{align*}$ komme ich genau auf das richtige Ergebnis, aber ich sehe die Logik bzw. deine Schritte leider nicht. Alle Schritte danach sind aber soweit klar.

Nichtsdestotrotz will ich hier noch den Induktionsanfang für $\begin{align*} (2)\&(3) \end{align*}$ da lassen.
$\begin{align*} (2): n=2\Rightarrow \langle \partial_rf_2,f_2\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}\cos(\vartheta_1)\\\sin(\vartheta_1)\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} r\cos(\vartheta_1)\\r\sin(\vartheta_1) \end{pmatrix} \right\rangle = r(\cos^2(\vartheta_1)+\sin^2(\vartheta_1)) = r \end{align*}$
$\begin{align*} (3): n=2 \Rightarrow \langle \partial_1f_2,f_2\rangle = \left\langle \begin{pmatrix}-r\sin(\vartheta_1)\\r\cos(\vartheta_1)\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} r\cos(\vartheta_1)\\r\sin(\vartheta_1) \end{pmatrix} \right\rangle=0 \end{align*}$

03.04.2017, 23:49

Leopold

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Zitat:

Original von Sito

Zitat:

Beim Induktionsschritt ist mir aufgefallen, daß man weitere Gleichungen braucht:

Wieso ist es nötig diese zusätzlichen Aussagen auch noch zu zeigen? Nicht, dass ich damit ein Problem hätte, aber es wäre schön nachzuvollziehen wieso ich gewisse Dinge machen muss.

Es ist so, wie es in meinem Zitat steht. Womit ich nicht sagen will, daß es nicht auch ohne geht. Selten gibt es nur eine Beweismöglichkeit.
Wenn du den Induktionsschritt bei $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ vollziehst, wirst du schon an die Stelle kommen, wo man sich gerne der Gleichungen $\begin{align*} \text{(2),(3)} \end{align*}$ bedient. Einfach mal loslegen.

Zitat:

Original von Sito

Zitat:

Hier kann ich dir leider nicht folgen. Ich verstehe einfach nicht wie du auf die zwei Summen kommst.

$\begin{align*} f_n \end{align*}$ ist ein Vektor, die partielle Ableitung nach $\begin{align*} r \end{align*}$ wird komponentenweise durchgeführt. Von diesem Vektor sind definitionsgemäß die ersten $\begin{align*} n-1 \end{align*}$ Koordinaten zu $\begin{align*} f_{n-1} \cdot \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \end{align*}$ zusammengefaßt, die letzte Koordinate ist $\begin{align*} r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \end{align*}$ :

$\begin{align*} \partial_r f_n = \begin{pmatrix} \partial_r \left( f_{n-1} \cdot \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \right) \\ \partial_r \left( r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \right) \end{pmatrix} \end{align*}$

Glücklicherweise sind Sinus und Cosinus $\begin{align*} r \end{align*}$ -frei, so daß sie beim Ableiten nach $\begin{align*} r \end{align*}$ wie konstante Faktoren fungieren. Daher folgt weiter:

$\begin{align*} \ldots = \begin{pmatrix} \left( \partial_r f_{n-1} \right) \cdot \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \\ \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \end{pmatrix} \end{align*}$

Und jetzt kann man das Skalarprodukt auf den Fall $\begin{align*} n-1 \end{align*}$ zurückführen. Beachte wieder wie schon bei der Norm:

$\begin{align*} \langle x,y \rangle_n = \underbrace{x_1 y_1 + \ldots + x_{n-1} y_{n-1}}_{\langle x',y' \rangle_{n-1}} + x_n y_n \end{align*}$

worin $\begin{align*} x',y' \end{align*}$ aus den ersten $\begin{align*} n-1 \end{align*}$ Koordinaten von $\begin{align*} x,y \end{align*}$ bestehen sollen.

$\begin{align*} \langle \partial_r f_n , f_n \rangle = \left \langle \begin{pmatrix} \partial_r f_{n-1} \cdot \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \\ \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} f_{n-1} \cdot \cos \left( \vartheta_{n-1} \right) \\ r \sin \left( \vartheta_{n-1} \right) \end{pmatrix} \right \rangle \end{align*}$

Und im nächsten Schritt kommt das heraus, wonach du gefragt hattest.

05.04.2017, 22:02

Sito

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Vielen Dank für die Ausführungen, jetzt ist soweit klar wie der Bew. für $\begin{align*} (2) \end{align*}$ funktioniert.

Also nun zum Induktionsschritt für $\begin{align*} (3) \end{align*}$ :
Fall 1: $\begin{align*} i= n-1 \end{align*}$
$\begin{align*} \Rightarrow \langle \partial_i f_n, f_n \rangle &= \left\langle\begin{pmatrix} \partial_i (f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1})) \\ \partial_i (r\sin(\vartheta_{n-1}))\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1}) \\ r\sin(\vartheta_{n-1})\end{pmatrix} \right\rangle\\ &= \left\langle\begin{pmatrix}- f_{n-1}\sin(\vartheta_{n-1}) \\r\cos(\vartheta_{n-1}))\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1}) \\ r\sin(\vartheta_{n-1})\end{pmatrix} \right\rangle\\ &= \left\langle- f_{n-1}\sin(\vartheta_{n-1}), f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1})\right\rangle + r^2\cos(\vartheta_{n-1})\sin(\vartheta_{n-1})\\ &= - \sin(\vartheta_{n-1})\cos(\vartheta_{n-1}) \langle f_{n-1}, f_{n_1} \rangle + r^2\cos(\vartheta_{n-1})\sin(\vartheta_{n-1})\\ &= - \sin(\vartheta_{n-1})\cos(\vartheta_{n-1}) \underbrace{\|f_{n-1}\|^2}_{=r^2} + r^2\cos(\vartheta_{n-1})\sin(\vartheta_{n-1}) =0 \end{align*}$

Fall 2: $\begin{align*} i= 2,\dots,n-2 \end{align*}$
$\begin{align*} \Rightarrow \langle \partial_i f_n, f_n \rangle &= \left\langle\begin{pmatrix} \partial_i (f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1})) \\ \partial_i (r\sin(\vartheta_{n-1}))\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1}) \\ r\sin(\vartheta_{n-1})\end{pmatrix} \right\rangle\\ &= \langle \partial_i f_{n-1} \cos(\vartheta_{n-1}), f_{n-1} \cos(\vartheta_{n-1}) = \cos^2(\vartheta_{n-1})\langle \partial_i f_{n-1}, f_{n-1}\rangle =0 \end{align*}$

Nun noch das Ganze für $\begin{align*} (1) \end{align*}$ :
Fall 1: $\begin{align*} i=n-1 \end{align*}$
$\begin{align*} \langle \partial_rf_n,\partial_if_n\rangle &=\left\langle\begin{pmatrix} \partial_r (f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1})) \\ \partial_r (r\sin(\vartheta_{n-1}))\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \partial_i (f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1})) \\\partial_i( r\sin(\vartheta_{n-1}))\end{pmatrix} \right\rangle \\ &= \left\langle\begin{pmatrix} \partial_r f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1}) \\ \sin(\vartheta_{n-1})\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -f_{n-1}\sin(\vartheta_{n-1}) \\ r\cos(\vartheta_{n-1})\end{pmatrix} \right\rangle \\ &= \langle \partial_rf_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1}), -f_{n-1}\sin(\vartheta_{n-1})\rangle + r\sin(\vartheta_{n-1})\cos(\vartheta_{n-1})\\ &= -\sin(\vartheta_{n-1})\cos(\vartheta_{n-1})\underbrace{\langle \partial_rf_{n-1}, f_{n-1}\rangle}_{=r \text{ nach }(2)} + r\sin(\vartheta_{n-1})\cos(\vartheta_{n-1})=0 \end{align*}$

Fall 2: $\begin{align*} i=2,\dots,n-2 \end{align*}$
$\begin{align*} \langle \partial_rf_n,\partial_if_n\rangle &=\left\langle\begin{pmatrix} \partial_r (f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1})) \\ \partial_r (r\sin(\vartheta_{n-1}))\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \partial_i (f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1})) \\\partial_i( r\sin(\vartheta_{n-1}))\end{pmatrix} \right\rangle \\ &= \langle \partial_rf_{n-1} \cos(\vartheta_{n-1}), \partial f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1})\rangle\\ &= \cos^2(\vartheta_{n-1}) \underbrace{ \langle \partial_{r}f_{n-1},\partial_i f_{n-1} \rangle}_{=0 \text{ nach Ind.Annahme}} =0 \end{align*}$

Fall 3: $\begin{align*} i=n-1; j= 2,\dots, n-2 \end{align*}$
$\begin{align*} \langle \partial_if_n,\partial_jf_n\rangle &=\left\langle\begin{pmatrix} \partial_i (f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1})) \\ \partial_i (r\sin(\vartheta_{n-1}))\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \partial_j (f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1})) \\\partial_j( r\sin(\vartheta_{n-1}))\end{pmatrix} \right\rangle \\ &= \langle -f_{n-1} \sin(\vartheta_{n-1}), \partial_j f_{n-1}\cos(\vartheta_{n-1})\rangle\\ &= -\sin(\vartheta_{n-1})\cos(\vartheta_{n-1})\underbrace{\langle f_{n-1},\partial_jf_{n-1}\rangle}_{=0 \text{ nach }(3)} =0 \end{align*}$

Tut mir Leid, falls das Ganze unübersichtlich wirkt. Ich hoffe mal ich habe alle Fälle abgedeckt... Wäre auf jeden Fall auch froh wenn du noch mal drüberschaust.

Gruss Sito

06.04.2017, 08:20

Leopold

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Es fehlt bei $\begin{align*} \text{(1)} \end{align*}$ noch der Fall $\begin{align*} \langle \partial_i f_n , \partial_j f_n \rangle = 0 \end{align*}$ für $\begin{align*} i,j \in \{ 1,2,\ldots,n-2 \} \end{align*}$ mit $\begin{align*} i \neq j \end{align*}$ . Geht aber sehr schnell, da beim Ableiten die letzte Koordinate jeweils verschwindet. Man ist sofort bei der Induktionsvoraussetzung.

Sonst scheint mir, von kleineren offensichtlichen Schreibfehlern bei Indizes und spitzen Klammern abgesehen, alles richtig.

Und jetzt ist dir sicher aufgefallen, wie sich der Wunsch nach der Gültigkeit von $\begin{align*} \text{(2)} \end{align*}$ und $\begin{align*} \text{(3)} \end{align*}$ von ganz alleine eingestellt hat.

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