Differenzial- und Integralrechnung

02.04.2017, 16:24	Kemmelin	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzial- und Integralrechnung Meine Frage: Liebe Community In den letzten Tagen habe ich eine große Menge an Aufgaben gelöst. Nun möchte ich diejenigen mit euch teilen, die mir Schwierigkeiten besorgt haben. 1. Aufgabe: Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (4-x) * $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ a) Führe eine vollständige Funktionsuntersuchung durch und zeichne den Graphen von f b) Berechne die Fläche F, die der Graph von f und die x-Achse einschliessen. c) Berechne das Volumen des Körpers K, das bei Rotation der Fläche F um die x-Achse entsteht. d) Dem Körper K werden gerade Kreiskegel einbeschrieben, deren Spitze im Nullpunkt liegt. Bestimme Radius- und Höhenmass des Kegels mit maximalem Volumen. 2. Aufgabe: Eine über dem Intervall [0,3] definierte ganzrationale Funktion 3-ten Grades hat an der Stelle x=1 ihr absolutes Maximum 3 und an den Stellen x=0 und x=3 ihr absolutes Minimum 0. Bestimme die Funktionsgleichung f. 3. Aufgabe: Gegeben sind die drei Funktionen f, g und h wie folgt: $\begin{eqnarray} f(x)= 1/16x^{3}-x+5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x)= -1/16(x-8)^{3}+x-3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x)= 1/4(x-4)^{2}+1 \end{eqnarray}$ Die Graphen f, g und h begrenzen eine Fläche F a) Skizzieren Sie diese Fläche und bestimmen Sie aus der Figur die Gleichung der Symmetrieachse. Welchen Inhalt hat F? b) Die Fläche F rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des so entstandenen Rotationskörpers. c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Graphen von f und g? d) Die Normale im Punkt P(3/h(3)) zerlegt die Fläche F in eine linke und eine rechte Teilfläche. Welchen Anteil in Prozenten hat die rechte Teilfläche am Inhalt der Gesamtfläche F? 4. Aufgabe: Der Graph einer ganzrationalen Funktion f vom Grad 3 ist punktsymmetrisch zum Ursprung, geht durch A(1/2) und hat für x=1 eine waagrechte Tangente. Bestimme die Funktionsgleichung. 5. Aufgabe: Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = ln(2x+m)-m ; x>0 ; m \in \mathbb R 0 \end{eqnarray}$ a) Bestimme die Nullstellen von f in Abhängigkeit von m. b) Die Funktion $\begin{eqnarray} f1^{-1}(X) \end{eqnarray}$ sei die Umkehrfunktion von f1; Ermittle die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion und zeichne ihren Graphen in das Koordinatensystem ein. 6. Aufgabe: Die Funktion f ist gegeben durch $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-1} <br /> \end{eqnarray}$ a) Bestimme die (Definitionsmenge, Nullstellen, Asymptoten, Extrempunkte und Wendepunkte) von f. b) Zeichne den Graphen von f und seine Asymptoten im Intervall [-10,10]. c) Bestimme den Schnittpunkt P des Graphen von f mit der y-Achse und die Gleichung der Tangente t in P. d) Die senkrechte Asymptote und die Nullstelle begrenzen eine Fläche A. Berechne den Inhalt von der Fläche A. 7. Aufgabe: Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = xe^{1-x}, , x \in \mathbb R <br /> \end{eqnarray}$ a) Diskutiere die Funktion und zeichne den Graphen über dem Intervall [0,5]. b) Bestimme die Gleichung der Wendetangente und trage sie in der Zeichnung ein. c) Beachte die Menge aller dem Graphen von f einbeschriebenen gleichschenkligen Dreiecke, deren Basis von den Punkten O(0/0) und Q(2t/0) mit t>0 begrenzt wird. Bestimme die Basislänge und die Höhe des Dreiecks aus dieser Menge, welche das grösste Flächenmass hat. d) Berechne das Mass der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse über dem Intervall [0, +\infty{[. 8. Aufgabe: Bestimme eine ganzrationale Funktion f dritten Grades, deren Graph durch die drei Punkte A(1/3), B(0/1) und C(0/1) einen Wendepunkt hat. Meine Ideen: Hier werde ich meine Lösungsansätze darstellen und würde mich freuen, wenn ihr mir bei den fehlenden weiterhelfen könntet und die bestehenden kontrollieren könntet. Ich danke euch im Voraus! 2. Aufgabe: $\begin{eqnarray} f(x) = ax^{3}+bx^{2}+cx+d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = 3ax^{2}+2ax+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = 6ax+2b \end{eqnarray}$ f(1) = 3 3 = a + b + c + d f(0) = 0 0 = 3a + 2b + c f(3) = 0 0 = d f'(1)= 0 0 = 27a + 9b + 3c + d Nach Taschenrechner: a = 3/4 ; b = -9/2 ; c = 27/4 Funktionsgleichung: $\begin{eqnarray} y = 3/4x^{3} - 9/2x^{2} + 27/4x \end{eqnarray}$ 7. Aufgabe: a) $\begin{eqnarray} f'(x) = (e-ex)e^{-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x) = (x-2)e^{1-x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'''(x) = -(x-3)e^{1-x} \end{eqnarray}$ Nullstellen: N1 (0/0) Verhalten $\begin{eqnarray} \|x\| \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ -> x geht gegen 0 Asymptote: y=0 -> x-Achse Extremstellen: $\begin{eqnarray} f'(x)=0 \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} (\in - \in x)e^{-x} = 0 \end{eqnarray}$ x=1 -> $\begin{eqnarray} f''(x0) < 0 \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} M(1/1) \end{eqnarray}$ ein Maximum Wendepunkte: $\begin{eqnarray} f''(x) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(x-2) e^{1-x} = 0 \end{eqnarray}$ x= 2 -> $\begin{eqnarray} f'''(x0) \neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} W(2/2e^{-1} \end{eqnarray}$ ) ... 8. Aufgabe: $\begin{eqnarray} f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d \end{eqnarray}$ A(-1/3) , B(0/1) , C(2/0) Wendepunkt: W(0/1) $\begin{eqnarray} 1 = a0^3 + b0^2 + c0 + d \end{eqnarray}$ -> d = 1 $\begin{eqnarray} f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x) = ax^{2} + bx + c \end{eqnarray*}$ ....
02.04.2017, 16:33	G020417	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzial- und Integralrechnung Bitte nur 1 Aufgabe pro Thread,wenn die Aufgaben so umfangreich sind. So lässt sich das besser auf potenzielle Helfer verteilen.

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