Komplexes LGS gleich reelles LGS

03.04.2017, 09:58

Pixarrr

Komplexes LGS gleich reelles LGS

Meine Frage:
Hallo Leute,

irgendwie hänge ich gerade an der Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} Ax = b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb C^{nxn} , x,b \in \mathbb C^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=A_{1}+iA_{2}, x=x_{1}+ix_{2} , b=b_{1}+ib_{2} \end{eqnarray*}$
Ich soll zeigen, dass das komplexe LGS äquivalent zum reellen LGS
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A_1 & -A_2 \\ A_2 & A_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Ich habe zunächst Ax = b mit den komplexen Einträgen ausmultipliziert und erhalte dann:
$\begin{eqnarray*} A_{1}x_{1} + A_{1}ix_{2} + A_{2}x_{1} -A_{2}x_{2} =b_{1}+ib_{2} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich das reelle ausmultipliziert und das sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} A_{1}x_{1} + A_{1}x_{2} + A_{2}x_{1} -A_{2}x_{2} =b_{1}+b_{2} \end{eqnarray*}$

Sieht ja fast eigentlich schon genauso aus. Allerdings fehlen mir ja noch die i´s.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke!

03.04.2017, 10:40

Leopold

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RE: Komplexes LGS gleich reelles LGS
Offenbar sollen die Größen mit Index reell sein.

Zitat:

Original von Pixarrr
$\begin{eqnarray*} A_{1}x_{1} + A_{1}ix_{2} + A_{2}x_{1} -A_{2}x_{2} =b_{1}+ib_{2} \end{eqnarray*}$

Bei einem Summanden fehlt die imaginäre Einheit.
Zerlege dann die Gleichung in Real- und Imaginärteil.

Zitat:

Original von Pixarrr
$\begin{eqnarray*} A_{1}x_{1} + A_{1}x_{2} + A_{2}x_{1} -A_{2}x_{2} =b_{1}+b_{2} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht richtig. Beim Multiplizieren der Blockmatrizen entsteht ein Vektor mit $\begin{align*} n+n=2n \end{align*}$ Koordinaten. Die ersten und die zweiten $\begin{align*} n \end{align*}$ Koordinaten dürfen nicht addiert werden.

03.04.2017, 13:09

Pixarrr

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RE: Komplexes LGS gleich reelles LGS

Zitat:

Zitat:
Original von Pixarrr
$\begin{eqnarray*} A_{1}x_{1} + A_{1}x_{2} + A_{2}x_{1} -A_{2}x_{2} =b_{1}+b_{2} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht richtig. Beim Multiplizieren der Blockmatrizen entsteht ein Vektor mit n+n=2n Koordinaten. Die ersten und die zweiten n Koordinaten dürfen nicht addiert werden.

Vielleicht habe ich das auch ein bisschen schlecht aufgeschrieben..
Ich habe das so gemacht:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A_1 & -A_2 \\ A_2 & A_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A_1x_1 & -A_2x_2 \\ A_2x_1 & A_1x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und dann habe ich quasi jede Zeile als Gleichung angesehen und diese dann addiert und bin dann so auf diese Gleichung gekommen:
$\begin{eqnarray*} A_{1}x_{1} + A_{1}x_{2} + A_{2}x_{1} -A_{2}x_{2} =b_{1}+b_{2} \end{eqnarray*}$
Das müsste doch richtig sein, oder?

Zitat:

Bei einem Summanden fehlt die imaginäre Einheit.

Meinst du damit, dass ich $\begin{eqnarray*} i^{2} \end{eqnarray*}$ direkt in $\begin{eqnarray*} i^{2}=-1 \end{eqnarray*}$ umgewandelt habe?
Sonst wüsste ich jetzt nicht, wo noch etwas fehlt.

03.04.2017, 16:40

Leopold

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RE: Komplexes LGS gleich reelles LGS

Zitat:

Original von Pixarrr
$\begin{eqnarray*} A_{1}x_{1} + A_{1}ix_{2} + A_{2}x_{1} -A_{2}x_{2} \end{eqnarray*}$

Zwei Summanden müssen ein $\begin{align*} \operatorname{i} \end{align*}$ haben. Ich sehe jedoch nur einen.

Zitat:

Original von Pixarrr
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A_1 & -A_2 \\ A_2 & A_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A_1x_1 & -A_2x_2 \\ A_2x_1 & A_1x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht richtig. Die Matrix ist eine $\begin{align*} (n+n) \times (n+n) \end{align*}$ -Block-Matrix mit vier $\begin{align*} n \times n \end{align*}$ -Blöcken. Sie wird mit einem Spaltenvektor aus $\begin{align*} n+n \end{align*}$ Koordinaten multipliziert. Es muß sich daher wieder ein solcher Vektor ergeben.
Die zweite Gleichung ist schon von den Dimensionen her sinnlos, denn links steht eine $\begin{align*} 2n \times 2 \end{align*}$ -Matrix und rechts nur ein $\begin{align*} 2n \end{align*}$ -Vektor.

03.04.2017, 17:43

Pixarrr

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RE: Komplexes LGS gleich reelles LGS

Zitat:

Zwei Summanden müssen ein i haben. Ich sehe jedoch nur einen.

Okay, Danke. Jetzt sehe ich es auch.

$\begin{eqnarray*} A_{1}x_{1} + A_{1}ix_{2} + A_{2}ix_{1} -A_{2}x_{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Das ist nicht richtig. Die Matrix ist eine (n+n)×(n+n)-Block-Matrix mit vier n×n-Blöcken. Sie wird mit einem Spaltenvektor aus n+n Koordinaten multipliziert. Es muß sich daher wieder ein solcher Vektor ergeben.
Die zweite Gleichung ist schon von den Dimensionen her sinnlos, denn links steht eine 2n×2-Matrix und rechts nur ein 2n-Vektor.

Das müsste so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A_1x_1-A_2x_2 \\ A_2x_1+ A_1x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zerlege dann die Gleichung in Real- und Imaginärteil.

Meinst du so?
$\begin{eqnarray*} A_{1}x_{1} + A_{1}ix_{2} + A_{2}ix_{1} -A_{2}x_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = A_{1}(x_{1} + ix_{2}) +A_{2}(-x_{2}+ix_{1}) \end{eqnarray*}$

03.04.2017, 20:17

Leopold

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RE: Komplexes LGS gleich reelles LGS
Die Sache mit der Blockmatrix stimmt jetzt. Du kannst daraus durch Vergleich des oberen und unteren Teils zwei Gleichungen erhalten.

Zitat:

Original von Pixarrr

Zitat:

Zerlege dann die Gleichung in Real- und Imaginärteil.

Meinst du so?
$\begin{eqnarray*} A_{1}x_{1} + A_{1}ix_{2} + A_{2}ix_{1} -A_{2}x_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = A_{1}(x_{1} + ix_{2}) +A_{2}(-x_{2}+ix_{1}) \end{eqnarray*}$

Nein.
Realteil: $\begin{align*} \operatorname{i} \end{align*}$ -freie Bestandteile
Imaginärteil: $\begin{align*} \operatorname{i} \end{align*}$ -Bestandteile

04.04.2017, 08:00

Pixarrr

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RE: Komplexes LGS gleich reelles LGS

Zitat:

Die Sache mit der Blockmatrix stimmt jetzt. Du kannst daraus durch Vergleich des oberen und unteren Teils zwei Gleichungen erhalten.

Okay, gut. Dann habe ich ja das hier:

$\begin{eqnarray*} I. ~ A_1x_1-A_2x_2 = b_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II. ~ A_2x_1+ A_1x_2 = b_2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Nein.
Realteil: i-freie Bestandteile
Imaginärteil: i-Bestandteile

Dann verstehe ich irgendwie nicht, was ich jetzt machen soll.
Also mein Imaginärteil ist ja der Teil, bei dem ein i mit dabei steht und mein Realteil ist der, wo nur die Zahl steht.

$\begin{eqnarray*} x_{1} + ix_{2} \end{eqnarray*}$
Hier zum Beispiel wäre doch $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ mein Realteil und $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ mein Imaginärteil.

04.04.2017, 08:07

Leopold

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Man kann Realteile und Imaginärteile miteinander vergleichen. Sind also $\begin{align*} a,b,c,d \end{align*}$ reelle Größen, so darf man aus

$\begin{align*} a + \operatorname{i} b = c + \operatorname{i} d \end{align*}$

schließen:

$\begin{align*} a = c \ \ \text{und} \ \ b = d \end{align*}$

Deshalb solltest du die reellen und imaginären Bestandteile der Gleichung je für sich zusammenfassen. Stichwort: $\begin{align*} \operatorname{i} \end{align*}$ ausklammern.

04.04.2017, 08:23

Pixarrr

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Okay. Also, dann so.

$\begin{eqnarray*} A_{1}x_{1} + A_{1}ix_{2} + A_{2}ix_{1} -A_{2}x_{2}= b_{1}+ib_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_{1}x_{1} -A_{2}x_{2} + i(A_{1}x_{2} + A_{2}x_{1}) = b_{1}+ib_{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

a+ib=c+id

schließen:

a=c und b=d

Meine a, b, c, d wären ja dann
$\begin{eqnarray*} a = A_{1}x_{1} -A_{2}x_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c = b_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = A_{1}x_{2} + A_{2}x_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d = b_{2} \end{eqnarray*}$

04.04.2017, 08:30

Leopold

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... womit die Aufgabe gelöst wäre.

04.04.2017, 08:39

Pixarrr

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Okay, Danke für deine Hilfe smile

.

Aber irgendwie habe ich es immer noch nicht so richtig verstanden …

Ich habe dann ja jetzt zum Schluss genau die beiden Gleichungen da stehen, die ich vorher auch durch das Ausmultiplizieren erhalten habe.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A_1x_1-A_2x_2 \\ A_2x_1+ A_1x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I. ~ A_1x_1-A_2x_2 = b_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II. ~ A_2x_1+ A_1x_2 = b_2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Man kann Realteile und Imaginärteile miteinander vergleichen. Sind also a,b,c,d reelle Größen, so darf man aus

a+ib=c+id

schließen:

a=c und b=d

Aber ich habe irgendwie noch nicht verstanden, warum das hier gleich ist...

04.04.2017, 08:44

Leopold

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WENN

$\begin{align*} \mathfrak{A} \ \ \Leftrightarrow \ \ \mathfrak{C} \end{align*}$

$\begin{align*} \mathfrak{B} \ \ \Leftrightarrow \ \ \mathfrak{C} \end{align*}$

DANN AUCH

$\begin{align*} \mathfrak{A} \ \ \Leftrightarrow \ \ \mathfrak{B} \end{align*}$

04.04.2017, 08:53

Pixarrr

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Okay, Danke..jetzt hab ich´s smile

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