Zeige, dass I Primideal ist

03.04.2017, 11:19	Sally19	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass I Primideal ist Meine Frage: Hallo zusammen, ich sitze an folgender Aufgabe: Gegeben ist das Ideal $\begin{eqnarray} I=(3, 5t-2) \end{eqnarray}$ des Ringes $\begin{eqnarray} \mathbb Z [t] \end{eqnarray}$ , ist dieses Ideal ein Primideal? Meine Ideen: Ich habe dafür nun zwei verschiedene Lösungswege, wobei ich mir nicht sicher bin ob einer oder beide vllt sogar falsch sein könnten, ich bitte deshalb um eine zweite Meinung und mögliche Verbesserungsvorschläge. Das Vorgehen ist bei deiden dasselbe, zeige das $\begin{eqnarray} \mathbb Z [t]/ I \end{eqnarray}$ integritätsbereich ist, bzw. isomorph zu einem anderen Ring ist welcher Integritätsbereich ist, somit folgt laut Vorlesung das I Primideal ist. 1.Lösung: $\begin{eqnarray} \mathbb Z [t]/ (3, 5t-2) \cong (\mathbb Z/3\mathbb Z)[t]/(\bar{5}t -\bar{2}) \cong (\mathbb Z/3\mathbb Z)[t]/(\bar{2}t +\bar{1}) \cong (\mathbb Z/3\mathbb Z) \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} \bar{5}t -\bar{2} = \bar{2}t +\bar{1} \end{eqnarray}$ mod3 2.Lösung: $\begin{eqnarray} \mathbb Z [t]/ (3, 5t-2) \cong (\mathbb Z/3\mathbb Z)[t]/(\bar{5}t -\bar{2}) \cong (\mathbb Z/3\mathbb Z)[t]/(t -\bar{1}) \cong (\mathbb Z/3\mathbb Z) \end{eqnarray}$ wegen $\begin{eqnarray} \bar{5}t -\bar{2} = \bar{2}t -\bar{2} = \bar{2}(t-\bar{1}) = (t-\bar{1}) \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} \bar{2}\in (\mathbb Z/3\mathbb Z)^{\times } \end{eqnarray}$ ...jeweils wäre dann 3 ne Primzahl, somit $\begin{eqnarray} \mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray}$ ein integritätsbereich und somit I ein Primideal, aber welcher der beiden Wege ist richtig, oder sind beide falsch?
03.04.2017, 11:36	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die "2" Lösungen sind keine 2 sondern 1. Denn für die Ideale gilt: (2t+1)=(t-1) Die "Unterschiede" in den Beweisen sind reine Darstellungsunterschiede modulo 3. Im Übrigen ist der Beweis richtig.
03.04.2017, 11:53	Sally19	Auf diesen Beitrag antworten »
Super vielen Dank, dann hab ich mich dabei wohl nur selbst verwirrt

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