Grenzwertbestimmung

03.04.2017, 11:51

yugi

Grenzwertbestimmung

Meine Frage:
Hallo,
Bei einer Aufgabe sollen wir zeigen, dass die Funktion nicht stetig differenzierbar ist. D.h, dass die Ableitungsfunktion keine stetige Funktion ist.

Meine Ideen:
[attach]44216[/attach] so sieht die Ableitungsfunktion aus.
Diese ist stetig für x ungleich 0, wir untersuchen also die stetigkeit im punkt 0.

Mit der beschränktheit von Sin folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} 2xsin(\frac{1}{x^2} ) = 0 \end{eqnarray*}$
So bleibt zu untersuchen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{2}{x}cos(\frac{1}{x^2}) \end{eqnarray*}$ (und der soll ja nicht existieren bzw. nicht null sein)
Ich hab aber keinen Plan wie ich den Grenzwert hier formal richtig bestimmen kann. Ich kann mir nur denken dass er unbeschränkt ist weil 2/x mit x gegen 0 , gegen unendlich läuft und cos halt beschränkt ist..In der Musterlösung wurden irgendwelche folgen definiert für die cosinus 0 und 1 werden würde.. ich kann das aber nicht nachvollziehen:
[attach]44217[/attach]
[attach]44218[/attach]
Gibts keinen "einfachereren" Weg ?

Hoffe jemand kann mir helfen
Viele Grüße

03.04.2017, 12:02

klarsoweit

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RE: Grenzwertbestimmung

Zitat:

Original von yugi
Gibts keinen "einfachereren" Weg ?

Hihi, das ist schon der einfachste Weg. Man hätte sich aber die Folge b_n schenken können. smile

Mit der Folge a_n ist klar, daß f'(a_n) nicht konvergiert. Da a_n gegen Null konvergiert, kann also f' in Null nicht stetig sein.

03.04.2017, 12:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von klarsoweit
Man hätte sich aber die Folge b_n schenken können.

$\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ bringt allenfalls noch die genauere Erkenntnis, dass die Divergenz $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}f'(x) \end{eqnarray*}$ eine unbestimmte ist. Ist aber nicht nötig zur Lösung, "bloße" Divergenz reicht auch.

03.04.2017, 12:49

yuri

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RE: Grenzwertbestimmung
Ich verstehe aber nicht..bei mir kommt trotzdem raus dass es konvergiert gegen null.
sei $\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{1}{\sqrt{2n\pi } } \end{eqnarray*}$

dann gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f'(a_{n} ) = \lim_{n \to \infty }\frac{2}{\sqrt{2n\pi } } sin(2n\pi ) - \frac{2}{\sqrt{2n\pi } } cos(2n\pi ) \end{eqnarray*}$

so und offensichtlich gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\frac{2}{\sqrt{2n\pi } } sin(2n\pi ) = 0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty } \frac{2}{\sqrt{2n\pi } } cos(2n\pi ) = 0*1=0 \end{eqnarray*}$

d.h insgesamt konvergiert sie gegen null also f'(0) oder nicht.. verwirrt

03.04.2017, 12:52

HAL 9000

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Der Faktor vor dem Kosinusterm ist $\begin{align*} \frac{2}{x} \end{align*}$ , und setzt man dort $\begin{align*} x=a_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}} \end{align*}$ ein, so ergibt das $\begin{align*} \frac{2}{a_n} = \frac{2}{\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}} = 2\sqrt{2\pi n} \end{align*}$ .

Allem Anschein nach hast du diese "doppelte" Kehrwertbildung unterschlagen...

03.04.2017, 13:12

yuri

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Ahhh stimmt !! Danke smile

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