Ungleichung lösen

03.04.2017, 16:57

nitramus

Ungleichung lösen

Wie löse ich $\begin{eqnarray*} (x^2-1)^3 > 0 \end{eqnarray*}$ ?
Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} x^2 -1 > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 > 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x > \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich jetzt auf die Lösung: $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$ ?

03.04.2017, 17:03

klarsoweit

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RE: Ungleichung lösen

Zitat:

Original von nitramus
$\begin{eqnarray*} x^2 > 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x > \sqrt{1} \end{eqnarray*}$

Hier machst du eine falsche Schlußfolgerung. Besser ist:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow (x-1) \cdot (x+1) > 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du dir überlegen, wann ein Produkt positiv ist. smile

03.04.2017, 17:04

G030417

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RE: Ungleichung lösen
Es muss lauten;

|x|>0

03.04.2017, 17:07

nitramus

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Danke für die Antwort smile

Wie funktioniert dann $\begin{eqnarray*} (x^2-1)^3 < 0 \end{eqnarray*}$ ?
Mein Ansatz: $\begin{eqnarray*} (x+1)(x-1) < 0 \end{eqnarray*}$ .
Das Produkt wird kleiner Null, wenn ein Faktor positiv, der andere negativ ist.

Also $\begin{eqnarray*} x + 1 > 0 \, \text{und} \, x - 1 < 0 \end{eqnarray*}$ bzw.
$\begin{eqnarray*} x + 1 < 0 \, \text{und} \, x - 1 > 0 \end{eqnarray*}$ . Aber da gibt es ja keine Schnittmenge in der Lösung, oder?

03.04.2017, 17:08

Leopold

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@ nitramus

Du solltest nicht einfach irgendwas rechnen, sondern jeden einzelnen Schritt rechtfertigen. Nehmen wir den Schritt von der ersten zur zweiten Zeile:

$\begin{align*} \left( x^2 - 1 \right)^3 > 0 \end{align*}$

$\begin{align*} x^2 - 1 > 0 \end{align*}$

Warum geht das überhaupt? Nun, es liegt daran, daß die dritte Potenz streng monoton wächst. Deshalb darf man diesen Schluß machen, sozusagen auf beiden Seiten die dritte Wurzel ziehen. Was wäre bei der Hochzahl 4 statt 3?

$\begin{align*} \left( x^2 - 1 \right)^4 > 0 \end{align*}$

Dann wäre die Schlußfolgerung $\begin{align*} x^2 - 1 > 0 \end{align*}$ falsch. Richtig wäre vielmehr:

$\begin{align*} x^2 - 1 \neq 0 \end{align*}$

Und ebenso muß man bei $\begin{align*} x^2 > 1 \end{align*}$ vorsichtig sein. Denn die Quadratfunktion ist nicht monoton.

04.04.2017, 08:24

klarsoweit

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RE: Ungleichung lösen

Zitat:

Original von G030417
Es muss lauten;

|x|>0

Eher wohl |x| > 1 .