Anwendung des Satzes von der impliziten Funktion

04.04.2017, 01:19

Namenloser324

Anwendung des Satzes von der impliziten Funktion

Hallo,

bin mir unsicher, ob meiner Anwendung, daher frage ich lieber nach:

Ich habe folgende Funktionsvorschrift gegeben:

$\begin{eqnarray*} A(x) = A * exp(-k*x) * |sin(w*x + d)| \end{eqnarray*}$

Ich möchte nun argumentieren, dass die Parameter A, k,w und d aus vier Messungen von A(x) eindeutig bestimmt werden können. Da es sich hier nicht um eine lineare Gleichung handelt ist das ohne weiteres nicht klar (auch wenn die Funktion recht durchsichtig ist).

Daher würde ich gerne den Satz von der impliziten Funktion benutzen, der mir eigentlich genau dies sagen sollte.

Ich notiere nun in der Form des Satzes:

$\begin{eqnarray*} F(A, k, w, d, A(x_0), A(x_1), A(x_2), A(x_3)) = (A(x_0) - A*exp(-k*x_0)*|sin(w*x_0 + d)|, ..., ..., ...) \end{eqnarray*}$

alle anderen Komponenten analog wie die erste. Die Funktion hat also vier Komponenten bzw. bildet in den $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ ab.

Die Ableitung ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial y_i} = id \end{eqnarray*}$ ist also überall invertierbar.
Da trivialerweise die Ausgangsfunktion (sie ergibt sich bei mir aus anderen Gründen) korrekt ist, gilt in jedem Punkt $\begin{eqnarray*} A(x) - A*exp(-k*x)*|sin(w*x + d)| = 0 \end{eqnarray*}$ . Also sollten alle Voraussetzungen des Satzes erfüllt sein und die Parameter eindeutig aus vier Messungen bestimmbar sein. Die einzige Ausnahme sind die Punkte in denen $\begin{eqnarray*} w * x + d = k \cdot \pi \end{eqnarray*}$ gilt, da die Funktion dort nicht differenzierbar ist.

Ist meine Argumentations richtig? Oder habe ich den Satz falsch verstanden? Habe leider wenig Übung mit der Anwendung.

Vielen Dank smile

12.04.2017, 04:15

Namenloser324

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Niemand? Ist irgendetwas unklar?

12.04.2017, 12:40

IfindU

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RE: Anwendung des Satzes von der impliziten Funktion
Erstens stimmt die Aussage nicht. Unendlich viele ungeschickt gewählte Werte, lassen mehrere Parameter zu. So kannst für du $\begin{eqnarray*} w = 2\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d = 0 \end{eqnarray*}$ die Werte $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ beliebig wählen und $\begin{eqnarray*} A(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ beliebig wählbar.

Anderseits kannst du auch $\begin{eqnarray*} w, d \end{eqnarray*}$ beliebig wählen und $\begin{eqnarray*} A= 0 \end{eqnarray*}$ . Und wiederrum ist $\begin{eqnarray*} A(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Was deinen Beweis angeht, so sieht er richtig aus, aber du folgerst das falsche. Momentan sagst du, du hast $\begin{eqnarray*} A,k,w,d, x_0, x_1,x_2,x_3, A(x_0), A(x_1), A(x_2), A(x_3) \end{eqnarray*}$ (letzten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Werte fehlen bei dir) gegeben, und dann kannst du $\begin{eqnarray*} A(x_0), A(x_1) \end{eqnarray*}$ usw. bestimmen. Und das braucht keinen Satz. Das ist die Definition einer Funktion. Außerdem würde der Satz nur lokale Eindeutigkeit liefern.

Edit: Oder noch einfacher. Du kannst $\begin{eqnarray*} d = w = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=0 \end{eqnarray*}$ nicht unterscheiden, selbst wenn du mit allen Komplexen Zahlen Funktionswerte mitlieferst.

14.04.2017, 02:26

Namenloser324

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Danke für deine Antwort!

In den von dir genannten Punkten greift der Satz auch nicht, da der Betragssinus dort nicht ableitbar ist. Das widerspricht m.E. meiner Aussage nicht.

Für A = 0 geht die Funktion selbstredend in die Nullfunktion über. Das müsste sich eigentlich im Satz zeigen, wobei mir auf den ersten Blick nicht einleutet wie.

14.04.2017, 08:44

IfindU

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RE: Anwendung des Satzes von der impliziten Funktion

Zitat:

Original von Namenloser324
$\begin{eqnarray*} A(x) = A * exp(-k*x) * |sin(w*x + d)| \end{eqnarray*}$

Ich möchte nun argumentieren, dass die Parameter A, k,w und d aus vier Messungen von A(x) eindeutig bestimmt werden können.

Das war deine Aussage, und die ist wie gesagt falsch. Vielleicht gilt sie, wenn alle 4 Messung $\begin{eqnarray*} A(x_i) \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind. und $\begin{eqnarray*} d \in [0, 2\pi) \end{eqnarray*}$ gesucht wird. Offenbar ist $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ nämlich allerhöchstens um eine $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -Translation zu bestimmt.

Was deinen Beweis angeht, so taucht hier erst auf, dass Differenzierbarkeit eine Rolle spielt. Das ist nicht Teil des Problems, sondern deines Lösungsversuches. Dass der Beweis etwas falsches folgert, habe ich auch bereits gesagt. Am einfachsten sieht man es, weil dein Beweis natürlich auch für die Funktion $\begin{eqnarray*} \widetilde A(x) = A * exp(-k*x) * sin(w*x + d) \end{eqnarray*}$ , d.h. ohne Beträge, greifen würde -- wo nun Differenzierbarkeit nun keinerlei Probleme machen kann.

Also: Du willst nach $\begin{eqnarray*} A, k, w, d \end{eqnarray*}$ auflösen. D.h. du musst die Ableitung bezüglich dieser Parameter bilden - und hoffen, dass diese invertierbar ist. Und selbst dann, bekommst du höchstens lokale Invertierbarkeit (wie man an den unendlich vielen, aber diskret-verteilten $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ Werten sieht, kann man gar nicht mehr bekommen.)

15.04.2017, 13:18

Namenloser324

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Ja stimmt. Habe den Fehler gemacht direkt nur an das Intervall [-pi, pi) zu denken ohne es explizit anzugeben.
Ich denke nochmal drüber nach. Vielen Dank!

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