Abstand einer Ebene zu einem Punkt

04.04.2017, 10:04

Soncom

Abstand einer Ebene zu einem Punkt

Meine Frage:
Ich sollte den Abstand zwischen der Ebene A(1|-1|2), B(2|1|8),C(-1|2|2) und dem Punkt Z1(-4|1|-1) ermitteln.

Meine Ideen:
Folgendes Probelem ich habe es einmal über die HNF gemacht und über die Lotgerade allerdings komme ich auf zwei Unterschiedliche Ergebnisse und kann meinen Fehler nicht finden.

Meine Rechnungen sehen wie folgt aus:

HNF:

$\begin{eqnarray*} E: -2x1+4x2-x3 = -8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E: -2x1+4x2-x3 + 8 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $\frac{-2x1+4x2-x3+8}{\sqrt{-2²+4²-1²} }= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $\frac{-2*(-4)+4+1+8}{\sqrt{-2²+4²-1²} }= 4,82 le \end{eqnarray*}$

Lotgerade:

$\begin{eqnarray*} E: -2x1+4x2-x3 = -8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n= \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:x=\begin{pmatrix} -4\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E: -2*(-4-2t)+4*(1+4t)-(-1-t) = -8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 8+4t+4+16t+1+t = -8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 21t+13 = -8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow t= -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g:x=\begin{pmatrix} -4\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + (-1) \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d = \sqrt{-6²+(-2)²+(-1)²} = 6,4 le \end{eqnarray*}$

Zwei Unterschiedliche Ergebnisse aber ich finde den Fehler einfach nicht.

Gruß Wieland

04.04.2017, 10:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Soncom
$\begin{eqnarray*} E: -2x1+4x2-x3 + 8 = 0 \end{eqnarray*}$

Machen wir mal die Probe bei deiner HNF, und setzen Punkt C ein:

$\begin{align*} -2\cdot (-1) + 4\cdot 2 - 2 + 8 = 16\neq 0 \end{align*}$ .

Upps, da scheint was schiefgegangen zu sein.

Kann natürlich auch sein, du hast dich oben verschrieben und meinst in Wahrheit $\begin{align*} C(-1|{\color{red}-}2|2) \end{align*}$ , schwer für uns Helfer zu identifizieren.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Gehen wir mal von dem Vorzeichenfehler beim Hinschreiben von $\begin{align*} C \end{align*}$ aus, d.h., in Wahrheit ist $\begin{align*} C(-1|-2|2) \end{align*}$ . Dann ist aber hier eine "Gurke":

Zitat:

Original von Soncom
$\begin{eqnarray*} $\frac{-2*(-4)+4+1+8}{\sqrt{-2²+4²-1²} }= 4,82 le \end{eqnarray*}$

Richtig wäre hier $\begin{eqnarray*} \frac{-2\cdot (-4)+4+1+8}{\sqrt{(-2)^2+4^2+(-1)^2}} = \sqrt{21}\approx 4.58 \end{eqnarray*}$ . Die weggelassenen Klammern scheinen Rache geübt zu haben...

Und die nächste dann hier:

Zitat:

Original von Soncom
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Falsch: Der Differenzvektor ist $\begin{align*} \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix} \end{align*}$ mit Länge $\begin{align*} \sqrt{21} \end{align*}$ , also Resultat von oben bestätigt. Anscheinend hast du die Vektoren addiert statt subtrahiert?

Resümee: Ein Vorzeichenfehler in der Angabe von C, und dann jeweils ein Rechenfehler in beiden Rechenwegen zur Distanzermittlung. D.h., grundsätzlich beherrschst du die Verfahren, aber es mangelt offenbar an Konzentration in der Rechnung.

04.04.2017, 11:52

Soncom

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Ah ja jetzt sehe ich meine Fehler und ja ich habe oben ein - bei der zwei vergessen.

Ich bedanke mich für deine Hilfe und werde es nocheinmal in ruhe durcharbeiten.

Gruß Wieland

21.04.2017, 17:41

rudizet

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RE: Abstand einer Ebene zu einem Punkt
Hallo Soncom,
die Parameterform der Ebene hat man leicht mit $\begin{eqnarray*} A + s \cdot AB + t \cdot AC \end{eqnarray*}$ .
Damit die Koordinatenform bestimmen, indem s und t eliminiert werden. Zum Vergleich: Ich habe
$\begin{eqnarray*} 18 x_1 + 12 x_2 -7x_3 = -8 \end{eqnarray*}$ erhalten. Setzt man die drei Punkte A,B,C ein, dann bestätigt sich die Gleichung. Mit der Gerade $\begin{eqnarray*} Z1 + a \cdot Normale \end{eqnarray*}$ bestimmt man den Schnittpunkt mit der Ebene. Zum Vergleich: Ich erhalte $\begin{eqnarray*} S = (-1258 ~| +1057 ~| -832)/517) \end{eqnarray*}$ und als Abstand etwa 3.2178 .
Gruß von rudizet

21.04.2017, 20:03

HAL 9000

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Wenn man schon alte Threads aufarbeitet, dann sollte man auch wirklich alle relevanten Informationen lesen:

Zitat:

Original von HAL 9000
Kann natürlich auch sein, du hast dich oben verschrieben und meinst in Wahrheit $\begin{align*} C(-1|{\color{red}-}2|2) \end{align*}$

Zitat:

Original von Soncom
Ah ja jetzt sehe ich meine Fehler und ja ich habe oben ein - bei der zwei vergessen.

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