Hurwitz-Kriterium

04.04.2017, 11:47

Oggel

Hurwitz-Kriterium

Hallo liebe Community,

ich brauche mal Hilfe bei der Aufgabe.
Folgendes habe ich schon gemacht:

1. Das cahrakt. Polynom:
$\begin{eqnarray*} \lambda^2 - (a+d)*\lambda + ad - cb \end{eqnarray*}$

Mit der pq Formel ergeben sich dann ja 2 Eigenwerte:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = \frac{a+d}{2} \pm \sqrt{(\frac{-a-d}{2})^2 - (ad-cb)} \end{eqnarray*}$

Da ja folgendes gilt:
Spur $\begin{eqnarray*} S = a+d \end{eqnarray*}$
Determinante $\begin{eqnarray*} D = ad - cb \end{eqnarray*}$

habe ich die Eigenwerte nochmal übersichtlicher geschrieben:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1,2} = \frac{S}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} * S^2 - D} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich leider nicht mehr so richtig weiter. Damit die Eigenwerte reell bleiben, muss der Radikand ja positiv bleiben, also muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} S^2 > D \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ihr könnt mir helfen smile

05.04.2017, 08:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schätze, du wirst eine Fallunterscheidung brauchen. Im 1. Fall ist $\begin{align*} S^2 - 4D \geq 0 \end{align*}$ , und beide Eigenwerte sind reell, im 2. Fall ist $\begin{align*} S^2 - 4D < 0 \end{align*}$ , und beide Eigenwerte sind nicht reell.

Ich beginne mit dem 1. Fall: $\begin{align*} S^2 - 4D \geq 0 \end{align*}$

Die Eigenwerte sind

$\begin{align*} \lambda = \frac{1}{2} \left( S \pm \sqrt{S^2 - 4D} \right) \in \mathbb{R} \end{align*}$

Wenn beide Werte negativ sind, gilt insbesondere $\begin{align*} S + \sqrt{S^2 - 4D} < 0 \end{align*}$ , also

$\begin{align*} \sqrt{S^2 - 4D} < -S \end{align*}$

Links in der letzten Ungleichung steht eine reelle Zahl $\begin{align*} \geq 0 \end{align*}$ . Die Ungleichung kann daher nur gelten, wenn $\begin{align*} S<0 \end{align*}$ ist, womit der eine Teil der Behauptung gezeigt ist. Da beide Seiten der Ungleichung jetzt nichtnegativ sind, darf sie quadriert werden: $\begin{align*} S^2 - 4D < S^2 \end{align*}$ , woraus sich $\begin{align*} -4D < 0 \end{align*}$ , also $\begin{align*} D > 0 \end{align*}$ ergibt.

Und jetzt mußt du den 2. Fall durchgehen.

Und dann auch noch die umgekehrte Beweisrichtung in beiden Fällen.

05.04.2017, 10:49

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für deine Antwort smile

Zitat:

Original von Leopold

Die Eigenwerte sind

$\begin{align*} \lambda = \frac{1}{2} \left( S \pm \sqrt{S^2 - 4D} \right) \in \mathbb{R} \end{align*}$

Wenn beide Werte negativ sind, gilt insbesondere $\begin{align*} S + \sqrt{S^2 - 4D} < 0 \end{align*}$

Muss man hier nicht noch den Fall für $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ untersuchen also $\begin{eqnarray*} S - \sqrt{S^2 - 4D} < 0 \end{eqnarray*}$ ?

05.04.2017, 13:25

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, muß man nicht. Im übrigen gilt aber

$\begin{align*} S - \sqrt{S^2 - 4D} \leq S + \sqrt{S^2 - 4D} \end{align*}$

Es können daher nur dann beide Werte negativ sein, wenn schon der größere der Werte negativ ist.

05.04.2017, 16:13

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay stimmt das ergibt Sinn.

Für den Fall: $\begin{eqnarray*} S^2 -4D < 0 \end{eqnarray*}$ :
weiß ich leider gar nicht richtig wie ich anfangen soll. Meine Idee für die Determinante:
Wenn ich die Ungleichung umforme muss ja gelten:
$\begin{eqnarray*} S^2 < 4D \end{eqnarray*}$ Da $\begin{eqnarray*} S^2 \end{eqnarray*}$ immer positiv ist, muss auch D immer positiv sein, damit die Gleichung erfüllt ist.

Bei der Spur habe ich keine Idee.

05.04.2017, 18:48

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Im zweiten Fall sind die Lösungen

$\begin{align*} \lambda = \frac{1}{2} \left( S \pm \operatorname{i} \sqrt{4D - S^2} \right) \end{align*}$

Es geht nur um den Realteil. Der soll kleiner 0 sein: $\begin{align*} \frac{1}{2} S < 0 \end{align*}$ . Daraus folgt sofort: $\begin{align*} S < 0 \end{align*}$ . Und das war es auch schon. Manchmal sind die Dinge so einfach, daß man nicht an den eigenen Erfolg glauben mag.
Was du über $\begin{align*} D \end{align*}$ gesagt hast, stimmt natürlich.

Jetzt überlege dir auch die umgekehrten Beweisrichtungen.

05.04.2017, 19:09

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh da hab ich viel zu kompliziert gedacht Big Laugh

Meinst du mit den umgekehrten Beweisrichtungen, dass man die 4 Möglichkeiten abarbeitet, also z.B. D und S < 0 oder D > 0 und S < 0 etc. ?

05.04.2017, 19:26

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben jetzt gezeigt:

$\begin{align*} \operatorname{Re}(\lambda_{1/2}) < 0 \ \ \Rightarrow \ \ S<0 \ \ \wedge \ \ D>0 \end{align*}$

Jetzt mußt du noch zeigen:

$\begin{align*} S<0 \ \ \wedge \ \ D>0 \ \ \Rightarrow \ \ \operatorname{Re}(\lambda_{1/2}) < 0 \end{align*}$

05.04.2017, 20:00

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich versuche mal für den 1. Fall also $\begin{eqnarray*} S^2 - 4D \ge 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \frac{1}{2} * (S + \sqrt{S^2 -4D}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \frac{1}{2} * (S - \sqrt{S^2 -4D}) \end{eqnarray*}$

a) $\begin{eqnarray*} S > 0, D >0 \end{eqnarray*}$ : Das ist klar da ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1 > 0 \end{eqnarray*}$ , also brauche ich eigentlich nicht weiter prüfen oder?

b) $\begin{eqnarray*} S < 0, D < 0 \end{eqnarray*}$ :
auch hier ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1 > 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \sqrt{S^2 -4D}) > |S| \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} S >0, D < 0 \end{eqnarray*}$ :
hier ist auch klar, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_1 > 0 \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} S <0, D > 0 \end{eqnarray*}$ :
hier ist $\begin{eqnarray*} \lambda_1 < 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \sqrt{S^2 -4D}) < |S| \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 < 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} S<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{S^2 -4D}) > 0 \end{eqnarray*}$

wäre damit der 1. Fall erledigt?

06.04.2017, 08:29

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wozu a),b),c)?

06.04.2017, 10:23

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte weil man zeigen soll, dass die Eigenwerte genau dann kleiner 0 sind, wenn S < 0 und D > 0 oder ist das unnötig und es reicht nur d) zu zeigen?

Sind die Beweise (bzw. d)) denn richtig?

06.04.2017, 15:09

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber $\begin{align*} \Rightarrow \end{align*}$ haben wir doch bereits.

06.04.2017, 17:30

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt

also würde d reichen.

und für den 2. Fall $\begin{eqnarray*} S^2 -4D < 0 \end{eqnarray*}$ ist doch eigentlich klar, wenn S < 0, dann ist auch der Realteil beider Eigenwerte < 0 oder?

Neue Frage »

Antworten »

Hurwitz-Kriterium

Verwandte Themen