Natürliche kubische Splinefunktionen Gl-System Lösen

04.04.2017, 20:44	SchnippSchnappp	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürliche kubische Splinefunktionen Gl-System Lösen Hallo Zusammen, ich möchte einen natürlichen kubischen Spline berechnen, doch bei einem Schritt (händischen lösen des Gleichungssystems) stehe ich auf dem Schlauch. Ich habe versucht die Zeilen geschickt miteinander zu addieren/abziehen (Gauß Alg) und zu erweitern. Allerdings habe ich immer mehr Unbekannte, als Gleichungen vielleicht sind meine Gaußkenntnisse auch einfach eingerostet mit den Jahren. Kann mir jemand vielleicht einen Anstoß geben, wie ich bspw. die erste der f"n berechnen kann, sodass ich den Rest ausrechnen kann?
04.04.2017, 21:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde einfach die erste Zeile ganz nach hinten setzen und die anderen Zeilen jeweils eins vorrücken lassen. Dann hast du außer in der letzten Zeile in der Hauptdiagonalen lauter Einsen stehen. So kannst du die letzte Zeile mit Hilfe der ersten bis sechsten Zeile solange bearbeiten, bis die Stufenform hergestellt ist. Das sind also sechs Schritte. Ich habe Folgendes bekommen: $\begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5432 \end{pmatrix} \cdot \vec{f''} = \begin{pmatrix} 18 \\ -18 \\ 30 \\ -24 \\ 6 \\ 6 \\ 2865 \end{pmatrix} \end{align}$
05.04.2017, 16:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenbar geht es hier um kubische Splines mit gleichabständigen Stützstellen, da hat die Koeffizientenmatrix der zweiten Ableitungen immer diese 1-4-1-Struktur. Betrachten wir die Folge $\begin{align} a_0=0,a_1=1,a_n=4a_{n-1}-a_{n-2} \end{align}$ , dann kommt man durch folgendes Verfahren "multipliziere Zeile $\begin{align} k \end{align}$ mit $\begin{align} a_k \end{align}$ und subtrahiere die vorherige Zeile" sukzessive für $\begin{align} k=2\ldots n \end{align}$ am Ende zum Tableau (nur linke Seite) $\begin{align} \begin{pmatrix} a_2 & a_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_3 & a_2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_4 & a_3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_5 & a_4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_6 & a_5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_7 & a_6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_8 \end{pmatrix} \end{align}$ . Mit konkreten Zahlen und rechter Seite bedeutet das $\begin{align} \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 15 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 56 & 15 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 209 & 56 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 780 & 209 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2911 & 780\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 10864\end{pmatrix} \cdot \vec{f''} = \begin{pmatrix} -18 \\ 90 \\ -360 \\ 2040 \\ -7056 \\ 11736 \\ 5730 \end{pmatrix} \end{align}$ . Nicht so "schön kleine" Matrixeinträge wie bei Leopold, dafür ist die entstehende Matrix dünner besetzt, und der "Rest" der Gleichungssystemlösung algorithmisch weniger aufwändig. Ob es für das händische Rechnen auch besser ist, das lasse ich mal offen. Für nicht gleichabständige Stützstellen klappt die Reduktion der Dreiband- zu einer solchen Zweibandmatrix ebenso, nur nicht mehr mit einer so regelmäßigen Struktur mit der Differenzenfolge $\begin{align} (a_n) \end{align}$ . P.S.: Für Differenzenfolgenexperten ist natürlich $\begin{align} a_n = \frac{(2+\sqrt{3})^n-(2-\sqrt{3})^n}{2\sqrt{3}} \end{align}$ klar, soviel noch zu dieser Nebensächlichkeit.
05.04.2017, 19:45	SchnippSchnappp	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe jetzt hat geklappt! Ich glaube ich habe den Wald vor lauter Bäumen gesehen oder es war einfach zu spät Danke!

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