Voraussetzung differenzierbar bei Integralfunktion |
| 05.04.2017, 12:46 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Voraussetzung differenzierbar bei Integralfunktion in meinem Buch steht folgende Definition: Eine Funktion f sei auf einem Intervall I differenzierbar. Zu jeder Zahl heißt die Funktion mit mit Integralfunktion von f zur unteren Grenze u. Meine Frage: Wozu brauche ich die Differenzierbarkeit von f als Voraussetzung? Ich leite f ja nirgends ab, sondern bilde bei der Berechnung des Integrals die Stammfunktion. Deren Existenz ist aber nicht gefordert. Wahrscheinlich ist sie mit der Differenzierbarkeit von f also abgedeckt - ich sehe aber nicht wie. Freue mich über Hilfe. duude |
||||||||
| 05.04.2017, 13:29 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hinreichend für die Existenz des Integrals ist die Stetigkeit von . Diese folgt aus der Differenzierbarkeit. Es würde also reichen, wenn man nur Stetigkeit fordert. |
||||||||
| 05.04.2017, 13:36 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In der Tat genügt zur Definition von die Integrierbarkeit von (in irgendeinem Sinn). In der Regel nimmt man in die Definition der Integralfunktion aber die Stetigkeit des Integranden mit auf. Das ist jedenfalls hinreichend für die Differenzierbarkeit der Integralfunktion, und der HDI sagt dann gerade In der Tat erscheint die Differenzierbarkeit von hier eine unnötig scharfe Voraussetzung. Sieh es im übrigen umgekehrt: Man berechnet nicht die Integralfunktion mit einer Stammfunktion, sondern definiert eine Stammfunktion mit Hilfe der Integralfunktion (das sagt gerade der HDI). Akzeptiere die Integration als eigenständigen Prozeß, der zunächst nicht auf den Begriff der Stammfunktion zurückgreift. Aus Erfahrung weiß ich, daß man diese Denkweise fast nicht in die Hirne hineinbekommt. Immer schreien die Leute gleich "Stammfunktion". Nein, diesen Begriff braucht es im Zusammenhang mit dieser Definition (!) überhaupt nicht. Erst wenn es um den HDI geht, taucht dann auch die Stammfunktion auf. |
||||||||
| 05.04.2017, 18:45 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah ok... ich glaube ich habs verstanden. 
Vielen Dank erstmal an euch.Um das Integral berechnen zu können, benötigt man eine stetige Funktion. Jede stetige Funktion ist auch differenzierbar - also kann man (als stärkere Forderung) auch differenzierbar hinschreiben. Da ich nichts anderes will, als das Integral zu berechnen, genügt mir die Existenz des Integrals aufgrund der Differenzierbarkeit der Funktion. Ich tue mich tatsächlich noch schwer mit der umgekehrten Denkweise, wie du sie angeführt hast, Leopold. Kann ich es mir so vorstellen, dass ich das Integral einfach so aufstellen kann. Erst zur Berechnung des Integrals mit dem HDI benötige ich dann Stammfunktionen? lg duude |
||||||||
| 05.04.2017, 19:22 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hätte mich gefreut. Deine folgenden Bemerkungen zeigen aber, daß es eher nicht so ist.
Nein, umgekehrt! Mit einer stetigen Funktion als Integrand ist das Integral auf jeden Fall berechenbar, besser: existent.
Ganz im Gegenteil. Das Umgekehrte wäre richtig: Jede differenzierbare Funktion ist auch stetig. Das ist ja auch der Grund, warum die schärfere Forderung der Differenzierbarkeit des Integranden überflüssig ist. Weil schon Stetigkeit genügt, um die Existenz des Integrals zu sichern und zu einer differenzierbaren Integralfunktion führt. Ich habe langsam den Verdacht, daß in deinem Kopf die Begriffe "Integrand" und "Integralfunktion" durcheinandergehen. Deswegen solltest du von jetzt ab immer sagen, wovon du überhaupt sprichst. Das Wort "Funktion" ist in diesem Fall zu unbestimmt. |
||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
