Gleichung von Wahrscheinlichkeiten |
| 07.04.2017, 11:22 | Johann96 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gleichung von Wahrscheinlichkeiten Ich kann folgende Behauptung nicht nachvollziehen: Gegeben zwei Zufallsvektoren (X1,Y1) und (X2,Y2). Die Vektoren sind voneinander unabhängig und X1 und X2 bzw. Y1 und Y2 haben jeweills die gleiche Verteilung. X1 und Y1 bzw. X2 und Y2 sind jedoch nicht unbedingt unabhängig und die beiden Vektoren haben eventuell auch verschiedene 2-dim. Verteilungen. Die Behauptung ist nun, dass P[(X1-X2)*(Y1-Y2) <0] = 1 - P[(X1-X2)*(Y1-Y2) >0] ist, falls alle Zufallsvariablen stetig sind. Es geht eigentlich also darum zu zeigen, dass P[ (X1-X2)*(Y1-Y2)=0] =0 ist. Unter Annahme der absoluten Stetigkeit aller Zufallsvariablen kann ich die Behauptung beweisen: P[(X1-X2)*(Y1-Y2)=0] <= P[X1-X2=0] + P[Y1-Y2=0] (Subadditivität). Wenn die Vektoren unabhängig sind, dann auch X1 und X2 (durch Messbarkeit der Projektionsabbildungen). Aus X1 und X2 unabhängig und absolut stetig folgt auch, dass die Faltung X1 + (-X2) absolut stetig ist (und eine Dichte besitzt). Da {0} eine Nullmenge bzgl. des Lebesguemaßes ist folgt daraus, dass P[ X1-X2=0] =0 ist. Analog für Y1 und Y2 und somit insgesamt P[(X1-X2)*(Y1-Y2)] =0. Nun meine Fragen an euch: 1.) Stimmt mein Beweis? Gibt es eventuell eine kürzere Möglichkeit das zu zeigen? 2.) Kann man das auch nur unter der Annahme der Stetigkeit, d.h. ohne absolute Steitigkeit bezüglich des Lebesguemaßes zeigen? Mein Problem ist, dass in dem Buch steht, dass die Behauptung aus der "Continuity" folgt. Es wird allerdings nirgends definiert, ob es sich um normale Stetigkeit oder absolute Stetigkeit handelt. Vielen Dank für eure Hilfe! |
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