Unterschied zwischen Geordnetes Paar, Tupel, Liste, Folge und Familie

07.04.2017, 18:44

Oliversnap

Unterschied zwischen Geordnetes Paar, Tupel, Liste, Folge und Familie

Meine Frage:
Hey!

Was genau sind ein geordnetes Paar, ein n-Tupel, eine Liste, eine Folge und eine Familie? Wie sind diese aus ZFC herleitbar? Wie ist das Kartesische Produkt definiert bzw. was ist dieses definiert als Menge in ZFC?

Meine Ideen:
Eine Familie $\begin{eqnarray*} (a_{i})_{i \in I} \end{eqnarray*}$ ist ja grundsätzlich eine Abbildung einer beliebigen Indexmenge $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ in eine nicht-leere Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i \mapsto a_{i} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ ein Element aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist.
Ich setze im folgenden Beispiel voraus, dass eine Abbildung $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine spezielle Relation $\begin{eqnarray*} F \subseteq I \times A \end{eqnarray*}$ ist.

Beispiel:
Seien $\begin{eqnarray*} A := \{ a_{1}, a_{2}, a_{3} \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I := \{ 1, 2, 3 \} \end{eqnarray*}$ zwei Mengen. Dann ist $\begin{eqnarray*} (a_{i})_{i \in I} \end{eqnarray*}$ eine Familie mit $\begin{eqnarray*} (1, a_{1}), (2, a_{2}), (3, a_{3}) \in (a_{i})_{i \in I} \end{eqnarray*}$ . Anders geschrieben ist $\begin{eqnarray*} (a_{i})_{i \in I} = \{ (1, a_{1}), (2, a_{2}), (3, a_{3}) \} \end{eqnarray*}$ .

Hat eine Familie eine endliche Indexmenge, so nennt man diese auch Liste. Eine Liste mit einem Indexbereich als Teilmenge der natürlichen Zahlen nennt man auch endliche Folge. Im obigen Beispiel ist also eine endliche Folge vorhanden.

Nun steht bei Wikipedia, dass eine endliche Folge auch als n-Tupel geschrieben werden kann (bzw. eine unendliche Folge, welches eine Familie mit einer abzählbar unendlichen Indexmenge ist, als unendliches Tupel). Das obige Beispiel ergibt also $\begin{eqnarray*} (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (a_{i})_{i \in I} = \{ (1, a_{1}), (2, a_{2}), (3, a_{3}) \} \end{eqnarray*}$ .

Die Reihenfolge der Glieder des $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ -Tupels wird hierbei durch die Totalordnung der natürlichen Zahlen bestimmt, habe ich das richtig verstanden? Dies würde ja wiederum bedeuten, dass eine Familie mit einer Indexmenge, welche keine Teilmenge der natürlichen Zahlen ist, nicht in Tupelschreibweise dargestellt werden kann, richtig?

Insbesondere stimmt dies mit der Schreibweise von Tupeln aus Wikipedia überein, dass eine endliche Folge $\begin{eqnarray*} (a_{i})_{i \in I} \subseteq I \times A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} I = \{ 1, \hdots , n \} \subset \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A = \{ a_{1}, \hdots , a_{n} \} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ in Tupelschreibweise als $\begin{eqnarray*} (a_{1}, \hdots , a_{n}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a_{i})_{i \in I} = (a_{1}, \hdots , a_{n}) = \{ (1, a_{1}), \hdots , (n, a_{n}) \} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden kann. Für unendliche Folgen geht dies analog.

Insgesamt kann man also sagen, dass Familien einfach nur Abbildungen von einer Indexmenge in eine nicht-leere Menge sind, Folgen spezielle Familien mit einer Teilmenge der natürlichen Zahlen als Indexmenge, und Listen spezielle Familien mit endlicher Indexmenge. Ausschließlich Folgen können in Tupelschreibweise geschrieben werden. Jetzt gibt es da ja aber noch die Matrizen, welches Listen sind mit einer Indexmenge $\begin{eqnarray*} I = A \times B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A, B \subset \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Diese kann man auch in Tupelschreibweise schreiben, jedoch habe ich nicht herausgefunden, wie dies mit der Mengenschreibweise von Tupeln funktioniert?

Hinzukommt, wenn nun ein Kartesisches Produkt von zwei Mengen geordnete Paare als Elemente besitzt, wie ist dann das Kartesische Produkt von endlich vielen bzw. unendlich vielen Mengen definiert?

Mein Problem ist bei der ganzen Sache, dass ich nicht verstehe, wie Tupel, geordnete Paare, Familien und Kartesische Produkte endlich bzw. unendlich vieler Mengen nach ZFC als Mengen definiert sind. Leider habe ich auch nichts in der gängigen Literatur gefunden.

07.04.2017, 18:59

Elvis

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RE: Unterschied zwischen Geordnetes Paar, Tupel, Liste, Folge und Familie

Zitat:

Original von Oliversnap
Ich setze im folgenden Beispiel voraus, dass eine Abbildung $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine spezielle Relation $\begin{eqnarray*} F \subseteq I \times A \end{eqnarray*}$ ist.

Das sehe ich anders, denn damit ist nur der Graph der Funktion gemeint. Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: D \to W, x\mapsto f(x) \end{eqnarray*}$ ist in der Mengenlehre ein Tripel $\begin{eqnarray*} (D,W,G) \end{eqnarray*}$ mit Definitionsbereich, Wertebereich und Graph. Mit diesem Ansatz lässt sich alles weitere sauber mengentheoretisch definieren.

Hier steht, wie Tupel und insbesondere geordnete Paare in der Mengendarstellung geschrieben werden : https://de.wikipedia.org/wiki/Tupel
Das benutzt man dann für kartesische Produkte : https://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt

07.04.2017, 19:10

Oliversnap

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RE: Unterschied zwischen Geordnetes Paar, Tupel, Liste, Folge und Familie
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Welche Definition der Tupel benutzt Du genau von Wikipedia?

07.04.2017, 19:55

Elvis

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Ich benutze z.B. (x,y):={x,{x,y}} für geordnete Paare.
Es gibt auch andere Möglichkeiten, siehe "Darstellung als Menge", wichtig ist nur, dass es möglich ist.

07.04.2017, 20:11

Oliversnap

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Hmm... Ich überlege immer noch, wie man Funktionen, Familien, Folgen, Listen, Tupel und Kartesische Produkte endlich oder unendlich vieler Mengen aus ZFC genau herleitet, so dass die jeweiligen Definition miteinander übereinstimmen.

Könntest Du mir einige Bücher nennen, wo diese Dinge genauer beschrieben sind? Das würde mir denke ich sehr weiterhelfen.

PS: Falls ich weitere Erkenntnisse zu dem Thema habe, werde ich diese hier auch nochmal ausführlich beschreiben.

07.04.2017, 22:23

Elvis

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In der Mengenlehre ist sicher der Begriff Menge grundlegend. Danach kommen n-Tupel und Funktion. Für das n-Tupel braucht man schon die natürlichen Zahlen. Alles andere kann man damit definieren. Falls nötig, beginnt jede Vorlesung und jedes Buch mit Begriffserklärungen. Eine durchgängige einheitliche Darstellung aller Begriffe aus der Mengenlehre gibt es nicht, und man braucht sie auch nicht, weil die Begriffe auf einander aufbauen. Bedenke auch, dass unterschiedliche Darstellungen, Sichtweisen und Definitionen für verschiedene Theorien vorteilhaft sein können.

08.04.2017, 15:54

Oliversnap

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In vielen Büchern und auch bei mir auf der Uni wird eine Funktion als eine spezielle Relation definiert, also als eine Teilmenge eines Kartesischen Produktes von zwei Mengen. Außerdem wird eine Familie als eine Funktion definiert. Eine Folge (insb. endliche Folge) ist eine Familie mit einem Indexbereich aus den natürlichen Zahlen. Eine endliche Folge dürfen wir auch als Tupel schreiben. Mit diesen ganzen Voraussetzungen habe ich jetzt folgendes:

Seien $\begin{eqnarray*} A := \{ 1, 2 \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B := \{ b_{1}, b_{2} \} = \{ 2, 2 \} = \{ 2 \} \end{eqnarray*}$ zwei Mengen mit $\begin{eqnarray*} b_{1} := 2 =: b_{2} \end{eqnarray*}$ . Nun nehmen wir die Funktion $\begin{eqnarray*} f = A \times B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f = \{ (1, 2), (2, 2) \} \end{eqnarray*}$ . Es gilt außerdem $\begin{eqnarray*} f = \{ (1, b_{1}), (2, b_{2}) \} \end{eqnarray*}$ , also die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als Folge geschrieben mit $\begin{eqnarray*} f = (b_{i})_{i \in \{ 1, 2 \} } \end{eqnarray*}$ . Diese Folge können wir nun als Tupel schreiben mit $\begin{eqnarray*} f = (b_{1}, b_{2}) \end{eqnarray*}$ , wobei dann $\begin{eqnarray*} f = (2, 2) \end{eqnarray*}$ folgt. Damit gilt also $\begin{eqnarray*} f \in f \end{eqnarray*}$ , was ein Widerspruch zum Fundierungsaxiom ist.

Was habe ich falsch gemacht?

08.04.2017, 18:11

Elvis

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Zitat:

Original von Oliversnap
In vielen Büchern und auch bei mir auf der Uni wird eine Funktion als eine spezielle Relation definiert, also als eine Teilmenge eines Kartesischen Produktes von zwei Mengen.

Ich weiß, dass eine Funktion oft so definiert wird. Egal wie oft man es macht, es ist und bleibt falsch. Man kann es machen, wenn man es richtig interpretiert. So wie du es hier interpretierst, ist es falsch.

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} A=\{1,2\}, B=\{2\} \end{eqnarray*}$
Funktion $\begin{eqnarray*} f: A\to B, f(a)=2\; (\forall a\in A )\Rightarrow f=(A,B,\{(1,2),(2,2)\}) \end{eqnarray*}$
Die Folge: $\begin{eqnarray*} (b_1,b_2)=(2,2)\cong (1\mapsto 2, 2 \mapsto 2) \end{eqnarray*}$ können wir mit der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ identifizieren, wenn wir eine Folge als Funktion eines endlichen Abschnitts der natürlichen Zahlen in eine Wertemenge oder als Funktion von den natürlichen Zahlen in eine Wertemenge definieren.

Ein Tupel ist ein Tupel, eine Folge ist eine Folge, eine Funktion ist eine Funktion. Eine Folge können wir als Tupel schreiben, wenn wir uns darüber klar sind, dass es eine Folge und kein Tupel ist. Ein Folgen-Tupel ist keine Funktion, denn eine Funktion ist ein Tripel $\begin{eqnarray*} f=(D,W,G) \end{eqnarray*}$ und keine Relation, wie ich schon gesagt habe. Der Graph einer Funktion ist eine Relation $\begin{eqnarray*} G\subset D\times W \end{eqnarray*}$ .

Die Tatsache, dass eine als Tupel geschriebene Folge mit einem Tupel eines Funktionsgraphen übereinstimmt, ist kein Widerspruch zu irgendetwas.

08.04.2017, 18:24

Oliversnap

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Zitat:

Original von Elvis
Die Folge: $\begin{eqnarray*} (b_1,b_2)=(2,2)\cong (1\mapsto 2, 2 \mapsto 2) \end{eqnarray*}$ können wir mit der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ identifizieren, wenn wir eine Folge als Funktion eines endlichen Abschnitts der natürlichen Zahlen in eine Wertemenge oder als Funktion von den natürlichen Zahlen in eine Wertemenge definieren.

Also ist die Menge, die für eine Folge steht, nicht die gleiche Menge wie die Menge, die für das isomorphe Tupel steht, das wir mit der Folge identifizieren, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe. Es ist also wichtig, dass die ganzen Begriffe bzw. Konstrukte wie Familien, Tupel, Folgen etc. jeweils eindeutig unterscheidbare Mengen sind, die so auch konstruierbar sind, aber der Zusammenhang, dass man eine Folge als Tupel schreiben kann, ist eher ein Isomorphismus, eine Identifikation, und keine echte Gleichheit im Sinne des Extensionalitätsaxioms.

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, bin ich jetzt auf jeden Fall sehr viel weiter als vorher. Vielen Dank für die Hilfe!

08.04.2017, 18:47

Elvis

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Es ist eigentlich kein Isomorphismus und auch keine Identifikation, sondern nur eine zufällig gleiche Schreibweise. Das geht solange gut, bis man gleich geschriebene Objekte für gleiche Objekte hält. Deshalb ist es in jedem Buch und jeder Vorlesung wichtig, Definitionen und Schreibweisen zu vereinbaren. Sie gelten dann in diesem Zusammenhang, nicht aber allgemein und nicht theorieübergreifend. Wenn man die gesamte Mathematik korrekt formalisieren wollte, hätte man eine unüberschaubare Vielfalt an Symbolen und Schreibweisen, die dann auch nicht mehr mit den historischen Begriffen übereinstimmen könnten. (Ich habe einmal eine exzellente Vorlesung über formale Sprachen gehört, da haben wir drei Alphabete (Lateinisch, Griechisch, Sütterlin) in Groß- und Kleinbuchstaben verbraucht und jedes Symbol mit einer eigenständigen Bedeutung belegt. Zum Schluß mussten wir noch ein paar kyrillische Buchstaben dazunehmen.)

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